यदि किसी $A.P.$ के प्रथम $7$ पदों का योग $49$ है और प्रथम $17$ पदों का योग $289$ है, तो उसके प्रथम $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।
Exercise-5.3-9
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$S_7 = 49$ एवं $S_{17} = 289$ दिए हैं।
$\Rightarrow S_7 =\frac{7}{2}[2a + 6d] = 49$
$\Rightarrow 7a + 21d = 49\Rightarrow a + 3d = 7 ...(1)$
एवं $S_{17} =\frac{17}{2} [2a +16d] = 289$
$\Rightarrow a + 8d = 17 ...(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर,
$5d = 10\Rightarrow d =\frac{10}{5} = 2$
$d = 2$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर,
$a + 3\times 2 = 7\Rightarrow a = 7 - 6 = 1$
$\because S_n =\frac{n}{2} [2a + (n - 1)\times d]$
$\Rightarrow S_n =\frac{n}{2}[2 \times 1 + (n - 1)\times 2]$
$=\frac{n}{2} [2 + 2n - 2] =\frac{n}{2} \times 2n = n^2$
अतः प्रथम $n$ पदों का अभीष्ट योग $= n^2$ है।
$\Rightarrow S_7 =\frac{7}{2}[2a + 6d] = 49$
$\Rightarrow 7a + 21d = 49\Rightarrow a + 3d = 7 ...(1)$
एवं $S_{17} =\frac{17}{2} [2a +16d] = 289$
$\Rightarrow a + 8d = 17 ...(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर,
$5d = 10\Rightarrow d =\frac{10}{5} = 2$
$d = 2$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर,
$a + 3\times 2 = 7\Rightarrow a = 7 - 6 = 1$
$\because S_n =\frac{n}{2} [2a + (n - 1)\times d]$
$\Rightarrow S_n =\frac{n}{2}[2 \times 1 + (n - 1)\times 2]$
$=\frac{n}{2} [2 + 2n - 2] =\frac{n}{2} \times 2n = n^2$
अतः प्रथम $n$ पदों का अभीष्ट योग $= n^2$ है।
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