यदि किसी $A.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योग $4n - n^2$ है, तो इसका प्रथम पद $($अर्थात् $S_1)$ क्या है? प्रथम दो पदों का योग क्या है? दूसरा पद क्या है? इसी प्रकार तीसरे, 1$0$वें और $n$वें पद ज्ञात कीजिए।
Exercise-5.3-11
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पहले $n$ पदों का योग $= 4n - n^2$
$\Rightarrow S_n = 4n - n^2$
जब, $n = 1,$
$S_1 = 4(1) - (1)^2 = 4 - 1 = 3$
$\Rightarrow d_1 = 3$
पहला पद $= n = 2$
$S_2 = 4(2) - (2)^2$
$= 8 - 4 = 4$
दूसरा पद $= S_2 - S_1 = 4 - 3 = 1$
$n = 3$
$S_3 = 4(3) - (3)^2$
$= 12 - 9 = 3$
तीसरा पद $= S_3 - S_2 = 3 - 4 = -1$
$n = 9, 10$
$S_9= 4(9) - (9)^2$
$= 36 - 81 = - 45$
$S_{10}= 4(10) - (10)^2$
$= 40 - 100 = - 60$
$\therefore 10$वाँ पद $= S_{10} - S_9$
$= - 60 - (- 45)$
$= - 60 + 45 = - 15$
$S_{n - 1} = 4(n - 1) - (n - 1)^2$
$= (4n - 4) - (n^2 + 1 - 2n)$
$= 4n - 4 - n^2 - 1 + 2n$
$= 6n - n^2 - 5$
$\therefore n$वाँ पद $= S_n - S_{n - 1}$
$= (4n - n^2) - (6n - n^2 - 5)$
$= 4n - n^2 - 6n + n^2 + 5$
$= 5 - 2n$
$\Rightarrow S_n = 4n - n^2$
जब, $n = 1,$
$S_1 = 4(1) - (1)^2 = 4 - 1 = 3$
$\Rightarrow d_1 = 3$
पहला पद $= n = 2$
$S_2 = 4(2) - (2)^2$
$= 8 - 4 = 4$
दूसरा पद $= S_2 - S_1 = 4 - 3 = 1$
$n = 3$
$S_3 = 4(3) - (3)^2$
$= 12 - 9 = 3$
तीसरा पद $= S_3 - S_2 = 3 - 4 = -1$
$n = 9, 10$
$S_9= 4(9) - (9)^2$
$= 36 - 81 = - 45$
$S_{10}= 4(10) - (10)^2$
$= 40 - 100 = - 60$
$\therefore 10$वाँ पद $= S_{10} - S_9$
$= - 60 - (- 45)$
$= - 60 + 45 = - 15$
$S_{n - 1} = 4(n - 1) - (n - 1)^2$
$= (4n - 4) - (n^2 + 1 - 2n)$
$= 4n - 4 - n^2 - 1 + 2n$
$= 6n - n^2 - 5$
$\therefore n$वाँ पद $= S_n - S_{n - 1}$
$= (4n - n^2) - (6n - n^2 - 5)$
$= 4n - n^2 - 6n + n^2 + 5$
$= 5 - 2n$
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