$2x^2 - 5x + 3 = 0$ समीकरण को पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से हल कीजिए।
EXAMPLE-7
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समीकरण $2x^2 - 5x + 3 = 0$ वही है, जो $x^{2}-\frac{5}{2} x+\frac{3}{2}=0$ है।
अब $x^{2}-\frac{5}{2} x+\frac{3}{2}=\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}-\left(\frac{5}{4}\right)^{2}+\frac{3}{2}$
$=\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}-\frac{1}{16}$
इसलिए $2x^2 - 5x + 3 = 0$ को $\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}-\frac{1}{16}=0$ की तरह लिखा जा सकता है।
अतः समीकरण $2x^2 - 5x + 3 = 0$ के मूल वस्तुतः वही हैं, जो $\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}-\frac{1}{16}=0$ के मूल हैं।
अब $\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}-\frac{1}{16}=0$ वही है, जो $\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$है।
इसलिए $x-\frac{5}{4}=\pm \frac{1}{4}$
अर्थात् $x=\frac{5}{4} \pm \frac{1}{4}$
अर्थात् $x=\frac{5}{4}+\frac{1}{4}$ या $x=\frac{5}{4}-\frac{1}{4}$
अर्थात् $x=\frac{3}{2}$ या $x = 1$
इसलिए समीकरण के हल $x=\frac{3}{2}$ और $1$ हैं।
अब $x^{2}-\frac{5}{2} x+\frac{3}{2}=\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}-\left(\frac{5}{4}\right)^{2}+\frac{3}{2}$
$=\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}-\frac{1}{16}$
इसलिए $2x^2 - 5x + 3 = 0$ को $\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}-\frac{1}{16}=0$ की तरह लिखा जा सकता है।
अतः समीकरण $2x^2 - 5x + 3 = 0$ के मूल वस्तुतः वही हैं, जो $\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}-\frac{1}{16}=0$ के मूल हैं।
अब $\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}-\frac{1}{16}=0$ वही है, जो $\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$है।
इसलिए $x-\frac{5}{4}=\pm \frac{1}{4}$
अर्थात् $x=\frac{5}{4} \pm \frac{1}{4}$
अर्थात् $x=\frac{5}{4}+\frac{1}{4}$ या $x=\frac{5}{4}-\frac{1}{4}$
अर्थात् $x=\frac{3}{2}$ या $x = 1$
इसलिए समीकरण के हल $x=\frac{3}{2}$ और $1$ हैं।
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