आव्यूह को एक सममित आव्यूह तथा एक विषम सममित आव्यूह के योगफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
$\left[\begin{array}{rrr} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{array}\right]$
$\left[\begin{array}{rrr} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{array}\right]$
Exercise-3.3-10(2)
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मान लीजिए A = $ \left[\begin{array}{rrr} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{array}\right] $, तब A$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{rrr} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{array}\right]$= $ \left[\begin{array}{rrr} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{array}\right]$ = A
अब, A + A$^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{rrr} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{rrr} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{rrr} 12 & -4 & 4 \\ -4 & 6 & -2 \\ 4 & -2 & 6 \end{array}\right]$
मान लीजिए P = $ \frac{1}{2}$ $\left(A+A^{\prime}\right)$ = $ \frac{1}{2}$ $\left[\begin{array}{rrr} 12 & -4 & 4 \\ -4 & 6 & -2 \\ 4 & -2 & 6 \end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{rrr} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{array}\right]$
अब, P$^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{rrr}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right]^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{rrr}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right]^{\prime}$= P
अतः P =$ \frac{1}{2}$ $\left(A+A^{\prime}\right)$ एक सममित आव्यूह है।
अब, A - A$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{rrr}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right]$ - $\left[\begin{array}{rrr}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$
मान लीजिए Q = $ \frac{1}{2}$ (A - A$^{\prime}$) = $ \frac{1}{2}$ $\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$
अब, Q$^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ = - Q
अतः Q =$ \frac{1}{2}$ (A - A$^{\prime}$) एक विषम सममित आव्यूह है।
अतः A को P तथा Q के योग द्वारा निम्न प्रकार से प्रदर्शित कर सकते हैं।
P + Q = $ \left[\begin{array}{rrr}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right]$ + $ \left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{rrr} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{array}\right]$ = A
अब, A + A$^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{rrr} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{rrr} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{rrr} 12 & -4 & 4 \\ -4 & 6 & -2 \\ 4 & -2 & 6 \end{array}\right]$
मान लीजिए P = $ \frac{1}{2}$ $\left(A+A^{\prime}\right)$ = $ \frac{1}{2}$ $\left[\begin{array}{rrr} 12 & -4 & 4 \\ -4 & 6 & -2 \\ 4 & -2 & 6 \end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{rrr} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{array}\right]$
अब, P$^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{rrr}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right]^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{rrr}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right]^{\prime}$= P
अतः P =$ \frac{1}{2}$ $\left(A+A^{\prime}\right)$ एक सममित आव्यूह है।
अब, A - A$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{rrr}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right]$ - $\left[\begin{array}{rrr}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$
मान लीजिए Q = $ \frac{1}{2}$ (A - A$^{\prime}$) = $ \frac{1}{2}$ $\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$
अब, Q$^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ = - Q
अतः Q =$ \frac{1}{2}$ (A - A$^{\prime}$) एक विषम सममित आव्यूह है।
अतः A को P तथा Q के योग द्वारा निम्न प्रकार से प्रदर्शित कर सकते हैं।
P + Q = $ \left[\begin{array}{rrr}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right]$ + $ \left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{rrr} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{array}\right]$ = A
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