आव्यूह को एक सममित आव्यूह तथा एक विषम सममित आव्यूह के योगफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
$\left[\begin{array}{rrr} 3 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ -4 & -5 & 2 \end{array}\right]$
$\left[\begin{array}{rrr} 3 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ -4 & -5 & 2 \end{array}\right]$
Exercise-3.3-10(3)
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मान लीजिए A = $ \left[\begin{array}{rrr}3 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ -4 & -5 & 2\end{array}\right]$, तब A$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{ccc}3 & -2 & -4 \\ 3 & -2 & -5 \\ -1 & 1 & 2\end{array}\right]$
अब, A + A$^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{rrr}3 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ -4 & -5 & 2\end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{rrr}3 & -2 & -4 \\ 3 & -2 & -5 \\ -1 & 1 & 2\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{rrr}6 & 1 & -5 \\ 1 & -4 & -4 \\ -5 & -4 & 4\end{array}\right]$
P = $ \frac{1}{2}$ $ \left(A+A^{\prime}\right)$ = $ \frac{1}{2}$ $ \left[\begin{array}{rrr}6 & 1 & -5 \\ 1 & -4 & -4 \\ -5 & -4 & 4\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc}3 & 1 / 2 & -5 / 2 \\ 1 / 2 & -2 & -2 \\ -5 / 2 & -2 & 2\end{array}\right]$
अब, P$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{ccc}3 & 1 / 2 & -5 / 2 \\ 1 / 2 & -2 & -2 \\ -5 / 2 & -2 & 2\end{array}\right]^{\prime}$= $ \left[\begin{array}{ccc}3 & 1 / 2 & -5 / 2 \\ 1 / 2 & -2 & -2 \\ -5 / 2 & -2 & 2\end{array}\right]$ = P
अतः P = $ \frac{1}{2}$ $ \left(A+A^{\prime}\right)$ एक सममित आव्यूह है।
अब, A - A$^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{rrr}3 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ -4 & -5 & 2\end{array}\right]$ - $\left[\begin{array}{rrr}3 & -2 & -4 \\ 3 & -2 & -5 \\ -1 & 1 & 2\end{array}\right]$= $ \left[\begin{array}{rrr}0 & 5 & 3 \\ -5 & 0 & 6 \\ -3 & -6 & 0\end{array}\right]$
मान लीजिए Q = $ \frac{1}{2}$ (A - A$^{\prime}$) = $\frac{1}{2}$$ \left[\begin{array}{rrr}0 & 5 & 3 \\ -5 & 0 & 6 \\ -3 & -6 & 0\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc}0 & 5 / 2 & 3 / 2 \\ -5 / 2 & 0 & 3 \\ -3 / 2 & -3 & 0\end{array}\right]$
अब, Q$^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{ccc}0 & 5 / 2 & 3 / 2 \\ -5 / 2 & 0 & 3 \\ -3 / 2 & -3 & 0\end{array}\right]$= $ \left[\begin{array}{ccc}0 & -5 / 2 & -3 / 2 \\ 5 / 2 & 0 & -3 \\ 3 / 2 & 3 & 0\end{array}\right]$ = - Q
अतः Q = $ \frac{1}{2}$ $ \left(A+A^{\prime}\right)$ एक विषम सममित आव्यूह है।
अतः A को P तथा Q के योग द्वारा निम्न प्रकार से प्रदर्शित कर सकते हैं
P + Q = $\left[\begin{array}{ccc} 3 & 1 / 2 & -5 / 2 \\ 1 / 2 & -2 & -2 \\ -5 / 2 & -2 & 2 \end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{ccc} 0 & 5 / 2 & 3 / 2 \\ -5 / 2 & 0 & 3 \\ -3 / 2 & -3 & 0 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc} 3 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ -4 & -5 & 2 \end{array}\right]$ = A
अब, A + A$^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{rrr}3 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ -4 & -5 & 2\end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{rrr}3 & -2 & -4 \\ 3 & -2 & -5 \\ -1 & 1 & 2\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{rrr}6 & 1 & -5 \\ 1 & -4 & -4 \\ -5 & -4 & 4\end{array}\right]$
P = $ \frac{1}{2}$ $ \left(A+A^{\prime}\right)$ = $ \frac{1}{2}$ $ \left[\begin{array}{rrr}6 & 1 & -5 \\ 1 & -4 & -4 \\ -5 & -4 & 4\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc}3 & 1 / 2 & -5 / 2 \\ 1 / 2 & -2 & -2 \\ -5 / 2 & -2 & 2\end{array}\right]$
अब, P$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{ccc}3 & 1 / 2 & -5 / 2 \\ 1 / 2 & -2 & -2 \\ -5 / 2 & -2 & 2\end{array}\right]^{\prime}$= $ \left[\begin{array}{ccc}3 & 1 / 2 & -5 / 2 \\ 1 / 2 & -2 & -2 \\ -5 / 2 & -2 & 2\end{array}\right]$ = P
अतः P = $ \frac{1}{2}$ $ \left(A+A^{\prime}\right)$ एक सममित आव्यूह है।
अब, A - A$^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{rrr}3 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ -4 & -5 & 2\end{array}\right]$ - $\left[\begin{array}{rrr}3 & -2 & -4 \\ 3 & -2 & -5 \\ -1 & 1 & 2\end{array}\right]$= $ \left[\begin{array}{rrr}0 & 5 & 3 \\ -5 & 0 & 6 \\ -3 & -6 & 0\end{array}\right]$
मान लीजिए Q = $ \frac{1}{2}$ (A - A$^{\prime}$) = $\frac{1}{2}$$ \left[\begin{array}{rrr}0 & 5 & 3 \\ -5 & 0 & 6 \\ -3 & -6 & 0\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc}0 & 5 / 2 & 3 / 2 \\ -5 / 2 & 0 & 3 \\ -3 / 2 & -3 & 0\end{array}\right]$
अब, Q$^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{ccc}0 & 5 / 2 & 3 / 2 \\ -5 / 2 & 0 & 3 \\ -3 / 2 & -3 & 0\end{array}\right]$= $ \left[\begin{array}{ccc}0 & -5 / 2 & -3 / 2 \\ 5 / 2 & 0 & -3 \\ 3 / 2 & 3 & 0\end{array}\right]$ = - Q
अतः Q = $ \frac{1}{2}$ $ \left(A+A^{\prime}\right)$ एक विषम सममित आव्यूह है।
अतः A को P तथा Q के योग द्वारा निम्न प्रकार से प्रदर्शित कर सकते हैं
P + Q = $\left[\begin{array}{ccc} 3 & 1 / 2 & -5 / 2 \\ 1 / 2 & -2 & -2 \\ -5 / 2 & -2 & 2 \end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{ccc} 0 & 5 / 2 & 3 / 2 \\ -5 / 2 & 0 & 3 \\ -3 / 2 & -3 & 0 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc} 3 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ -4 & -5 & 2 \end{array}\right]$ = A
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