यदि $A$ तथा $B$ समान कोटि के वर्ग आव्यूह इस प्रकार हैं कि $AB = BA$ है तो गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध कीजिए कि $AB^{n }= B^n A$ होगा। इसके अतिरिक्त सिद्ध कीजिए कि समस्त $n \in N$ के लिए $(AB)^{n }= A^n B^{n }$ होगा।
Miscellaneous Exercise-13(2)
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दिया है, $A^{2 }= 1$
$\therefore AA = I \Rightarrow\left[\begin{array}{cc} \alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} \alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{array}\right] =\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] $
$\Rightarrow \left[\begin{array}{cc} \alpha^{2}+\beta \gamma & \alpha \beta-\alpha \beta \\ \alpha \gamma-\gamma \alpha & \gamma \beta+\alpha^{2} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]$
समान आव्यूह के संगत अवयवों की तुलना करने पर,
$\alpha^{2} + \beta \gamma = 1$
$\Rightarrow \alpha^{2} + \beta\gamma - 1 = 0$
$\Rightarrow 1 - \alpha^{2} - \beta \gamma = 0$
$\therefore AA = I \Rightarrow\left[\begin{array}{cc} \alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} \alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{array}\right] =\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] $
$\Rightarrow \left[\begin{array}{cc} \alpha^{2}+\beta \gamma & \alpha \beta-\alpha \beta \\ \alpha \gamma-\gamma \alpha & \gamma \beta+\alpha^{2} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]$
समान आव्यूह के संगत अवयवों की तुलना करने पर,
$\alpha^{2} + \beta \gamma = 1$
$\Rightarrow \alpha^{2} + \beta\gamma - 1 = 0$
$\Rightarrow 1 - \alpha^{2} - \beta \gamma = 0$
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