एक वक्र के किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता, स्पर्श बिंदु को, बिंदु $(-4, -3)$ से मिलाने वाले रेखाखंड की प्रवणता की दोगुनी है। यदि यह वक्र बिंदु $(-2, 1)$ से गुज़रता हो, तो इस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Exercise-9.4-18
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दिया है कि बिंदु $(x, y)$ वक्र तथा स्पर्श रेखा का संपर्क बिंदु है। अब, बिंदुओं $(x, y)$ तथा $(-4, -3)$ से होकर जाने वाली रेखा की प्रवणता
$=\frac{y-(-3)}{x-(-4)}=\frac{y+3}{x+4} (\because$ रेखा की प्रवणता $=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}})$
अब प्रश्नानुसार, $\frac{d y}{d x}=2\left(\frac{y+3}{x+4}\right)$
चरों के पृथक्करण से, $\frac{d y}{y+3}=\left(\frac{2}{x+4}\right) d\ x$
समाकलन करने पर, $\int \frac{d y}{y+3}=\int\left(\frac{2}{x+4}\right) d\ x$
$\Rightarrow \log |y + 3| = 2 \log |x + 4| + \log |C|$
$\Rightarrow \log |y + 3| = \log |x + 4|^2 + \log |C|$
$\Rightarrow \log \frac{|y+3|}{|x+4|^{2}} = \log |C| (\because \log m - \log n = \log\frac{m}{n})$
$\Rightarrow\frac{|y+3|}{|x+4|^{2}}=C ...(i)$
चूँकि वक्र बिंदु $(-2, 1)$ से होकर जाता है। अतः
$\Rightarrow \frac{|1+3|}{|-2+4|^{2}}=C$
$\Rightarrow C = 1$
$C$ का मान समी. $(i)$ में रखने पर, $\frac{|y+3|}{|x+4|^{2}}=1$
$\Rightarrow y + 3 = (x + 4)^2$
जोकि वक्र का अभीष्ट समीकरण है।
$=\frac{y-(-3)}{x-(-4)}=\frac{y+3}{x+4} (\because$ रेखा की प्रवणता $=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}})$
अब प्रश्नानुसार, $\frac{d y}{d x}=2\left(\frac{y+3}{x+4}\right)$
चरों के पृथक्करण से, $\frac{d y}{y+3}=\left(\frac{2}{x+4}\right) d\ x$
समाकलन करने पर, $\int \frac{d y}{y+3}=\int\left(\frac{2}{x+4}\right) d\ x$
$\Rightarrow \log |y + 3| = 2 \log |x + 4| + \log |C|$
$\Rightarrow \log |y + 3| = \log |x + 4|^2 + \log |C|$
$\Rightarrow \log \frac{|y+3|}{|x+4|^{2}} = \log |C| (\because \log m - \log n = \log\frac{m}{n})$
$\Rightarrow\frac{|y+3|}{|x+4|^{2}}=C ...(i)$
चूँकि वक्र बिंदु $(-2, 1)$ से होकर जाता है। अतः
$\Rightarrow \frac{|1+3|}{|-2+4|^{2}}=C$
$\Rightarrow C = 1$
$C$ का मान समी. $(i)$ में रखने पर, $\frac{|y+3|}{|x+4|^{2}}=1$
$\Rightarrow y + 3 = (x + 4)^2$
जोकि वक्र का अभीष्ट समीकरण है।
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