अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए: $e^x \tan y dx + (1 - e^x)sec^2 y dy = 0$
Exercise-9.4-10
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$e^x \tan y \ dx + (1 - e^x) \ \sec^2 y \ dy = 0$
चरों का पृथक्करण करने पर $, e^x \tan y dx = -(1 - e^x) \sec^2 y \ dy$
$\Rightarrow \frac{e^{x}}{\left(e^{x}-1\right)} d x=\frac{\sec ^{2} y}{\tan y} \ dy$
समाकलन करने पर $, \int \frac{e^{x}}{\left(e^{x}-1\right)} d x=\int \frac{\sec ^{2} y}{\tan y}\ dy$
माना $e^x - 1 = t $
$\Rightarrow e^{x}=\frac{d t}{d x}=d x=\frac{d t}{e^{x}}$ तथा $\tan y = v$
$\Rightarrow \sec ^{2} y=\frac{d v}{d y}=d y=\frac{d v}{\sec ^{2} y}$
$\therefore \int \frac{e^{x}}{t} \frac{d t}{e^{x}}=\int \frac{\sec ^{2} y}{v} \frac{d v}{\sec ^{2} y}$
$\Rightarrow \log |t| = \log |v| - \log |C|$
$\Rightarrow \log |e^x - 1| = \log |\tan y| - \log |C|$
$\Rightarrow \log |C(e^x - 1)| = \log |\tan y| (\because \log m + \log n = \log mn)$
$\Rightarrow C(e^x - 1) = \tan y (\because \log m = \log n $
$\Rightarrow m = n)$
जोकि अभीष्ट व्यापक हल है।
चरों का पृथक्करण करने पर $, e^x \tan y dx = -(1 - e^x) \sec^2 y \ dy$
$\Rightarrow \frac{e^{x}}{\left(e^{x}-1\right)} d x=\frac{\sec ^{2} y}{\tan y} \ dy$
समाकलन करने पर $, \int \frac{e^{x}}{\left(e^{x}-1\right)} d x=\int \frac{\sec ^{2} y}{\tan y}\ dy$
माना $e^x - 1 = t $
$\Rightarrow e^{x}=\frac{d t}{d x}=d x=\frac{d t}{e^{x}}$ तथा $\tan y = v$
$\Rightarrow \sec ^{2} y=\frac{d v}{d y}=d y=\frac{d v}{\sec ^{2} y}$
$\therefore \int \frac{e^{x}}{t} \frac{d t}{e^{x}}=\int \frac{\sec ^{2} y}{v} \frac{d v}{\sec ^{2} y}$
$\Rightarrow \log |t| = \log |v| - \log |C|$
$\Rightarrow \log |e^x - 1| = \log |\tan y| - \log |C|$
$\Rightarrow \log |C(e^x - 1)| = \log |\tan y| (\because \log m + \log n = \log mn)$
$\Rightarrow C(e^x - 1) = \tan y (\because \log m = \log n $
$\Rightarrow m = n)$
जोकि अभीष्ट व्यापक हल है।
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