$(x - a)^2 + 2y^2 = a^2$ द्वारा निरुपित वक्रों के कुल का अवकल समीकरण निर्मित कीजिए, जहाँ $a$ एक स्वेच्छ अचर है।
Miscellaneous Exercise-3
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दिया गया वक्र कुल $(x - a)^2 + 2y^2 = a^2,$ जहाँ $a$ अचर है।
$\Rightarrow x^2 - 2ax + 2y^2 = 0 ...(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$2x - 2a + 4y \frac{d y}{d x} = 0 ...(ii)$
समी. $(ii)$ में $x$ से गुणा करके समी. $(i)$ से घटाने पर,
$x(2x - 2a + 4y \frac{d y}{d x}) - (x^2 - 2ax + 2y^2) = 0$
$\Rightarrow 2x^2 - 2ax + 4xy \frac{d y}{d x} - x^2 + 2ax - 2y^2 = 0$
$\Rightarrow 4xy \frac{d y}{d x} + x^2 - 2y^2 = 0$
$\Rightarrow\frac{d y}{d x}=\frac{2 y^{2}-x^{2}}{4 x y}$
जोकि अभीष्ट अवकल समीकरण है।
$\Rightarrow x^2 - 2ax + 2y^2 = 0 ...(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$2x - 2a + 4y \frac{d y}{d x} = 0 ...(ii)$
समी. $(ii)$ में $x$ से गुणा करके समी. $(i)$ से घटाने पर,
$x(2x - 2a + 4y \frac{d y}{d x}) - (x^2 - 2ax + 2y^2) = 0$
$\Rightarrow 2x^2 - 2ax + 4xy \frac{d y}{d x} - x^2 + 2ax - 2y^2 = 0$
$\Rightarrow 4xy \frac{d y}{d x} + x^2 - 2y^2 = 0$
$\Rightarrow\frac{d y}{d x}=\frac{2 y^{2}-x^{2}}{4 x y}$
जोकि अभीष्ट अवकल समीकरण है।
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