अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए:
$\frac{d y}{d x}- 3y \cot x = \sin 2x$ ; जहाँ $y = 2$ तथा $ x = \frac{\pi}{2}$
$\frac{d y}{d x}- 3y \cot x = \sin 2x$ ; जहाँ $y = 2$ तथा $ x = \frac{\pi}{2}$
Exercise-9.6-15
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दिया है, $\frac{d y}{d x} - 3y \cot x = \sin 2x$
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} + Py = Q$ से तुलना करने पर,
$P = -3 \cot x, Q = \sin 2x$
$\therefore ($समाकलन गुणांक$) IF = e^{-3 \int \cot x d x} = e^{-3 \log |\sin x|} = e^{\log |\sin x|^{-3}} \Rightarrow IF=\frac{1}{\sin ^{3} x} ...(i)$
दिए गए अवकल समीकरण का हल
$y \times {IF}=\int Q \times IF d x+C$
$\Rightarrow y \times \frac{1}{\sin ^{3} x}=\int \frac{1}{\sin ^{3} x} \sin 2 x d x$
$\Rightarrow y \times \frac{1}{\sin ^{3} x}=2 \int \frac{\sin x \cos x}{\sin ^{3} x} d x+C$
$\Rightarrow \frac{1}{\sin ^{3} x} \times y=2 \int \frac{\cos x}{\sin ^{2} x} d x+C$
$\Rightarrow \frac{y}{\sin ^{3} x}=2 \int \cot x \operatorname{cosec} \ x d \ x+C \Rightarrow \frac{y}{\sin ^{3} x} = -2 cosec\ x + C$
$\Rightarrow y=-2\left(\frac{1}{\sin x} \times \sin ^{3} x\right)+C \sin ^{3}x \Rightarrow y = -2 \sin^2x + C \sin^3x ...(ii)$
दिया है, $y = 2$ तथा $x=\frac{\pi}{2},$ तब समी. $(ii) $ से,
$2=-2 \sin ^{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)+C \sin ^{3}\left(\frac{\pi}{2}\right) \Rightarrow 2 = -2 + C \Rightarrow C = 4$
$C$ का मान समी. $(ii)$ में रखने पर,
$y = -2 \sin^2x + 4 \sin^3x \Rightarrow y = 4 \sin^3x - 2 \sin^2x$
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} + Py = Q$ से तुलना करने पर,
$P = -3 \cot x, Q = \sin 2x$
$\therefore ($समाकलन गुणांक$) IF = e^{-3 \int \cot x d x} = e^{-3 \log |\sin x|} = e^{\log |\sin x|^{-3}} \Rightarrow IF=\frac{1}{\sin ^{3} x} ...(i)$
दिए गए अवकल समीकरण का हल
$y \times {IF}=\int Q \times IF d x+C$
$\Rightarrow y \times \frac{1}{\sin ^{3} x}=\int \frac{1}{\sin ^{3} x} \sin 2 x d x$
$\Rightarrow y \times \frac{1}{\sin ^{3} x}=2 \int \frac{\sin x \cos x}{\sin ^{3} x} d x+C$
$\Rightarrow \frac{1}{\sin ^{3} x} \times y=2 \int \frac{\cos x}{\sin ^{2} x} d x+C$
$\Rightarrow \frac{y}{\sin ^{3} x}=2 \int \cot x \operatorname{cosec} \ x d \ x+C \Rightarrow \frac{y}{\sin ^{3} x} = -2 cosec\ x + C$
$\Rightarrow y=-2\left(\frac{1}{\sin x} \times \sin ^{3} x\right)+C \sin ^{3}x \Rightarrow y = -2 \sin^2x + C \sin^3x ...(ii)$
दिया है, $y = 2$ तथा $x=\frac{\pi}{2},$ तब समी. $(ii) $ से,
$2=-2 \sin ^{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)+C \sin ^{3}\left(\frac{\pi}{2}\right) \Rightarrow 2 = -2 + C \Rightarrow C = 4$
$C$ का मान समी. $(ii)$ में रखने पर,
$y = -2 \sin^2x + 4 \sin^3x \Rightarrow y = 4 \sin^3x - 2 \sin^2x$
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