बिंदु $(1, 1)$ से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण कीजिए जिसका अवकल समीकरण $xdy = (2x^2 + 1)dx (x \neq 0)$ है।
example-12
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दिए हुए अवकल समीकरण को निम्नलिखित रूप मे अभिव्यक्त किया जा सकता है:
$d y=\left(\frac{2 x^{2}+1}{x}\right) d x$
अथवा $d y=\left(2 x+\frac{1}{x}\right) d x ...(i)$
समीकरण $(i)$ के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$\in t d y=\int\left(2 x+\frac{1}{x}\right) d x$
अथवा $y = x^2 + \log |x| + C ...(ii)$
समीकरण $(ii)$ दिए हुए अवकल समीकरण के हल वक्रों के कुल को निरूपित करता है परंतु हम इस कुल के एक ऐसे विशिष्ट सदस्य का समीकरण ज्ञात करना चाहते हैं जो बिंदु $(1, 1)$ से गुजरता हो।
इसलिए समीकरण $(ii)$ में $x = 1, y = 1$ प्रतिस्थापित करने पर हमें $C = 0$ प्राप्त होता है। $C$ का मान समीकरण $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर हमें अभीष्ट वक्र का समीकरण $y = x^2 + \log |x|$ के रूप में प्राप्त होता है।
$d y=\left(\frac{2 x^{2}+1}{x}\right) d x$
अथवा $d y=\left(2 x+\frac{1}{x}\right) d x ...(i)$
समीकरण $(i)$ के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$\in t d y=\int\left(2 x+\frac{1}{x}\right) d x$
अथवा $y = x^2 + \log |x| + C ...(ii)$
समीकरण $(ii)$ दिए हुए अवकल समीकरण के हल वक्रों के कुल को निरूपित करता है परंतु हम इस कुल के एक ऐसे विशिष्ट सदस्य का समीकरण ज्ञात करना चाहते हैं जो बिंदु $(1, 1)$ से गुजरता हो।
इसलिए समीकरण $(ii)$ में $x = 1, y = 1$ प्रतिस्थापित करने पर हमें $C = 0$ प्राप्त होता है। $C$ का मान समीकरण $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर हमें अभीष्ट वक्र का समीकरण $y = x^2 + \log |x|$ के रूप में प्राप्त होता है।
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