अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें f(x) = sin x + cos x, 0 $\leq $ x $\leq$ 2 $\pi$ द्वारा प्रदत्त फलन f, वर्धमान या हासमान है।
EXAMPLE-13
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ज्ञात है कि
f(x) = sin x + cos x, 0 $ \leq$ x $\leq$ 2 $\pi$
या f$^{\prime}$(x) = cos x - sin x
अब f$^{\prime}$(x) = 0 से sin x = cos x जिससे हमें x = $ \frac{\pi}{4}$, $ \frac{5 \pi}{4}$ प्राप्त होते हैं। क्योंकि 0 $ \leq$ x $ \leq$ 2 $\pi$,
बिंदु x = $\frac{\pi}{4}$ और x =$ \frac{5 \pi}{4}$ अंतराल [0,2 $\pi$] को तीन असंयुक्त अंतरालों, नामतः $ \left[0, \frac{\pi}{4}\right) $, $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right) $ और $\left(\frac{5 \pi}{4}, 2 \pi\right] $ में विभक्त करते हैं।
ध्यान दीजिए कि$ f^{\prime}$(x) > 0 यदि x $\in$ $ \left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ $ \cup$ $\left(\frac{5 \pi}{4}, 2 \pi\right]$
अतः अंतरालों $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ और $\left(\frac{5 \pi}{4}, 2 \pi\right]$ में फलन f वर्धमान है।
और f'(x) < 0 यदि $x \in\left(\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right)$
अतः $f^{\prime}$(x) < 0 , यदि x $\in$ $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right)$
f(x) = sin x + cos x, 0 $ \leq$ x $\leq$ 2 $\pi$
या f$^{\prime}$(x) = cos x - sin x
अब f$^{\prime}$(x) = 0 से sin x = cos x जिससे हमें x = $ \frac{\pi}{4}$, $ \frac{5 \pi}{4}$ प्राप्त होते हैं। क्योंकि 0 $ \leq$ x $ \leq$ 2 $\pi$,
बिंदु x = $\frac{\pi}{4}$ और x =$ \frac{5 \pi}{4}$ अंतराल [0,2 $\pi$] को तीन असंयुक्त अंतरालों, नामतः $ \left[0, \frac{\pi}{4}\right) $, $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right) $ और $\left(\frac{5 \pi}{4}, 2 \pi\right] $ में विभक्त करते हैं।
ध्यान दीजिए कि$ f^{\prime}$(x) > 0 यदि x $\in$ $ \left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ $ \cup$ $\left(\frac{5 \pi}{4}, 2 \pi\right]$
अतः अंतरालों $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ और $\left(\frac{5 \pi}{4}, 2 \pi\right]$ में फलन f वर्धमान है।
और f'(x) < 0 यदि $x \in\left(\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right)$
अतः $f^{\prime}$(x) < 0 , यदि x $\in$ $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right)$
| अंतराल | f'(x) का चिह्न | फलन की प्रकृति |
| $\left[0, \frac{\pi}{4}\right)$ | >0 | f वर्धमान है |
| $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right)$ | < 0 | f ह्रासमान है |
| $\left(\frac{5 \pi}{4}, 2 \pi\right]$ | > 0 | f वर्धमान है |
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