वक्र $\frac{x^{2}}{4}$ + $\frac{y^{2}}{25} = 1$ पर उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ
- $x-$अक्ष के समांतर हों
- $y-$अक्ष के समांतर हों।
EXAMPLE-17
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$\frac{x^{2}}{4}$ + $\frac{y^{2}}{25} = 1$ का $x,$ के सापेक्ष अवकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$ \frac{x}{2} + \frac{2 y}{25} \frac{d y}{d x} = 0$
या $ \frac{d y}{d x} = \frac{-25}{4} \frac{x}{y} $
$ \frac{x}{2} + \frac{2 y}{25} \frac{d y}{d x} = 0$
या $ \frac{d y}{d x} = \frac{-25}{4} \frac{x}{y} $
- अब, स्पर्श रेखा $x-$अक्ष के समांतर है यदि उसकी प्रवणता शून्य है, जिससे $\frac{d y}{d x} = 0$
$\Rightarrow \frac{-25}{4} \frac{x}{y} = 0 $प्राप्त होता है। यह तभी संभव है जब $x = 0$ हो। तब $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ से $x = 0$ पर $y^{2 }= 25,$ अर्थात् $y = \pm 5$ मिलता है। अतः बिंदु $(0, 5)$ और $(0, -5)$ ऐसे हैं जहाँ पर स्पर्श रेखाएँ $x-$अक्ष के समांतर हैं। - स्पर्श रेखा $y-$अक्ष के समांतर है यदि इसके अभिलंब की प्रवणता शून्य है जिससे $\frac{4 y}{25 x}= 0,$
या $y = 0$ मिलता है। इस प्रकार, $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{25} = $1 से $y = 0$ पर $x = \pm 2$ मिलता है। अतः वे बिंदु $(2, 0)$ और $(-2, 0)$ हैं, जहाँ पर स्पर्श रेखाएँ $y-$अक्ष के समांतर हैं।
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