अवकल समीकरण $(1 + x^2) dy + 2xy dx = \cot x dx (x \ne 0)$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
Exercise-9.6-8
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दिया है $, (1 + x^2)dy + 2xy\ dx = \cot x dx$
$\Rightarrow (1 + x^2)dy = dx(\cot x - 2xy) $
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}+\frac{2 x y}{1+x^{2}}=\frac{\cot x}{1+x^{2}}$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}+\frac{2 x y}{1+x^{2}}=\frac{\cot x}{1+x^{2}}$
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}+P y=Q$ से तुलना करने पर,
$\therefore P=\frac{2 x}{1+x^{2}}$ तथा $Q=\frac{\cot x}{1+x^{2}}$
$\therefore ($समाकलन गुणांक$) IF =e^{\int P d x}=e^{\int \frac{2 x}{1+x^{2}} d x}$
मान लीजिए $1 + x^2 = t $
$\Rightarrow 2 x=\frac{d t}{d x} $
$\Rightarrow d x=\frac{d t}{2 x}$
$\therefore IF =e^{\int \frac{2 x}{t} \times \frac{d t}{2 x}}$
$ \Rightarrow IF = e^{\log |t|} = t = 1 + x^2$
दिए गए अवकल समीकरण का हल
$y \cdot IF=\int Q \times {IF} d x+C $
$\Rightarrow\left(1+x^{2}\right) y=\int\left[\left(1+x^{2}\right) \frac{\cot x}{\left(1+x^{2}\right)}\right] d x+C$
$\Rightarrow (1 + x^2)y = \log |\sin x| + C $
$\Rightarrow y = \log |\sin x| (1 + x^2)^{-1} + C(1 + x^2)^{-1}$
$\Rightarrow (1 + x^2)dy = dx(\cot x - 2xy) $
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}+\frac{2 x y}{1+x^{2}}=\frac{\cot x}{1+x^{2}}$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}+\frac{2 x y}{1+x^{2}}=\frac{\cot x}{1+x^{2}}$
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}+P y=Q$ से तुलना करने पर,
$\therefore P=\frac{2 x}{1+x^{2}}$ तथा $Q=\frac{\cot x}{1+x^{2}}$
$\therefore ($समाकलन गुणांक$) IF =e^{\int P d x}=e^{\int \frac{2 x}{1+x^{2}} d x}$
मान लीजिए $1 + x^2 = t $
$\Rightarrow 2 x=\frac{d t}{d x} $
$\Rightarrow d x=\frac{d t}{2 x}$
$\therefore IF =e^{\int \frac{2 x}{t} \times \frac{d t}{2 x}}$
$ \Rightarrow IF = e^{\log |t|} = t = 1 + x^2$
दिए गए अवकल समीकरण का हल
$y \cdot IF=\int Q \times {IF} d x+C $
$\Rightarrow\left(1+x^{2}\right) y=\int\left[\left(1+x^{2}\right) \frac{\cot x}{\left(1+x^{2}\right)}\right] d x+C$
$\Rightarrow (1 + x^2)y = \log |\sin x| + C $
$\Rightarrow y = \log |\sin x| (1 + x^2)^{-1} + C(1 + x^2)^{-1}$
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