अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए:
$x^2dy + (xy + y^2) dx = 0; y = 1$ यदि $x = 1$
$x^2dy + (xy + y^2) dx = 0; y = 1$ यदि $x = 1$
Exercise-9.5-12
Download our app for free and get started
दिया है, $x^2 dy = -(xy + y^2)dx $
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{x y+y^{2}}{x^{2}} ...(i)$
अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः $\frac{y}{x}=v$ अर्थात् $y = vx$ रखने पर,
$ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
तब, समी. $(i)$ से, $v+x \frac{d v}{d x}=-\frac{x^{2} v+x^{2} v^{2}}{x^{2}}$
$\Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=-\frac{x^{2}\left(v+v^{2}\right)}{x^{2}} $
$\Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=-\left(v+v^{2}\right)$
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x}=-\left(2 v+v^{2}\right) $
$\Rightarrow\frac{d v}{v^{2}+2 v}=-\frac{1}{x} d x$
समाकलन करने पर, $\int \frac{d v}{v^{2}+2 v}=-\int \frac{d x}{x}$
$\Rightarrow\int \frac{1}{v^{2}+2 v+1-1} d v=-\int \frac{d x}{x} $
$\Rightarrow \int \frac{1}{(v+1)^{2}-1} d v=-\int \frac{d x}{x}$
मान लीजिए $v + 1 = t \Rightarrow dv = dt$
$\therefore\int \frac{1}{t^{2}-1} d t=-\int \frac{d x}{x}$
$\Rightarrow\frac{1}{2} \log \left|\frac{t-1}{t+1}\right| = -\log |x| + C $
$\left(\because \int \frac{d x}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2 a} \log \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C\right)$
$\Rightarrow\frac{1}{2} \log \left|\frac{v+1-1}{v+1+1}\right| = -\log |x| + \log C (\because t = v + 1)$
$\Rightarrow\frac{1}{2} \log \left|\frac{v}{v+2}\right| + \log |x| = \log C$
$\Rightarrow\log \left|\frac{v}{v+2}\right|+2 \log |x| = 2 \log C $
$\Rightarrow \log \mid \left(\frac{v}{v+2}\right) x^{2} \mid = \log C^2$
$\Rightarrow\log\left|\left(\frac{\frac yx}{\frac yx+2}\right)x^2\right|=\log C^2 (v = \frac{y}{x}$ रखने पर
$\Rightarrow\frac{x^{2} y}{2 x+y}=A ...(ii) ($मान लीजिए$) C^2 = A$ तथा $\log m = \log n $
$\Rightarrow m = n)$
$y = 1$ जब $x = 1 \therefore\frac{1}{2+1}=A $
$\Rightarrow A=\frac{1}{3}$
$A$ का मान समी. $(ii)$ में रखने पर,
$\frac{x^{2} y}{2 x+y}=\frac{1}{3} $
$\Rightarrow 3x^2y = 2x + y$
जो दिए गए समीकरण का अभीष्ट हल है।
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{x y+y^{2}}{x^{2}} ...(i)$
अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः $\frac{y}{x}=v$ अर्थात् $y = vx$ रखने पर,
$ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
तब, समी. $(i)$ से, $v+x \frac{d v}{d x}=-\frac{x^{2} v+x^{2} v^{2}}{x^{2}}$
$\Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=-\frac{x^{2}\left(v+v^{2}\right)}{x^{2}} $
$\Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=-\left(v+v^{2}\right)$
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x}=-\left(2 v+v^{2}\right) $
$\Rightarrow\frac{d v}{v^{2}+2 v}=-\frac{1}{x} d x$
समाकलन करने पर, $\int \frac{d v}{v^{2}+2 v}=-\int \frac{d x}{x}$
$\Rightarrow\int \frac{1}{v^{2}+2 v+1-1} d v=-\int \frac{d x}{x} $
$\Rightarrow \int \frac{1}{(v+1)^{2}-1} d v=-\int \frac{d x}{x}$
मान लीजिए $v + 1 = t \Rightarrow dv = dt$
$\therefore\int \frac{1}{t^{2}-1} d t=-\int \frac{d x}{x}$
$\Rightarrow\frac{1}{2} \log \left|\frac{t-1}{t+1}\right| = -\log |x| + C $
$\left(\because \int \frac{d x}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2 a} \log \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C\right)$
$\Rightarrow\frac{1}{2} \log \left|\frac{v+1-1}{v+1+1}\right| = -\log |x| + \log C (\because t = v + 1)$
$\Rightarrow\frac{1}{2} \log \left|\frac{v}{v+2}\right| + \log |x| = \log C$
$\Rightarrow\log \left|\frac{v}{v+2}\right|+2 \log |x| = 2 \log C $
$\Rightarrow \log \mid \left(\frac{v}{v+2}\right) x^{2} \mid = \log C^2$
$\Rightarrow\log\left|\left(\frac{\frac yx}{\frac yx+2}\right)x^2\right|=\log C^2 (v = \frac{y}{x}$ रखने पर
$\Rightarrow\frac{x^{2} y}{2 x+y}=A ...(ii) ($मान लीजिए$) C^2 = A$ तथा $\log m = \log n $
$\Rightarrow m = n)$
$y = 1$ जब $x = 1 \therefore\frac{1}{2+1}=A $
$\Rightarrow A=\frac{1}{3}$
$A$ का मान समी. $(ii)$ में रखने पर,
$\frac{x^{2} y}{2 x+y}=\frac{1}{3} $
$\Rightarrow 3x^2y = 2x + y$
जो दिए गए समीकरण का अभीष्ट हल है।
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1दर्शाइए कि अवकल समीकरण $x \cos \left(\frac{y}{x}\right) \frac{d y}{d x}=y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+x$ समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 2सत्यापित कीजिए कि फलन $y = c_1e^{ax} \cos bx + c_2e^{ax} \sin bx,$ जहाँ $c_1, c_2$ स्वेच्छ अचर है, अवकल समीकरण $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 a \frac{d y}{d x} + (a^2 + b^2)y = 0$ का हल है।View Solution
- 3अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}+ y \cot x = 2x + x^2 \cot x(x \neq 0)$ का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है कि $y = 0$ यदि $x = \frac{\pi}{2}$View Solution
- 4अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} + y \cot x = 4x cosec x (x \neq 0)$ एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है कि $y = 0$ यदि $x = \frac{\pi}{2}$View Solution
- 5अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए:View Solution
$(x + y)dy + (x - y)dx = 0, y = 1$ जब $x = 1$ - 6दर्शाइए कि अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}+\frac{y^{2}+y+1}{x^{2}+x+1}=0$ का व्यापक हल (x + y + 1) = A(1 - x - y - 2xy) है, जिसमें A एक प्राचल है।View Solution
- 7सिद्ध कीजिए कि $x^2 - y^2 = c(x^2 + y^2)^2$, जहाँ $c$ एक प्राचल है, अवकल समीकरण $(x^3 - 3xy^2)dx = (y^3 - 3x^2y)dy$ का व्यापक हल है।View Solution
- 8बिंदु $(0, 2)$ से गुजरने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिंदु के निर्देशांकों का योग उस बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा की प्रवणता के परिमाण से $5$ अधिक है।View Solution
- 9दर्शाइए कि अवकल समीकरण $(x - y)dy - (x + y)dx = 0$ समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 10अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} - y = \cos x$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।View Solution