अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए:
$\left[x \sin ^{2}\left(\frac{y}{x}\right)-y\right] dx + x dy = 0, y = \frac{\pi}{4}$ जब $x = 1$
$\left[x \sin ^{2}\left(\frac{y}{x}\right)-y\right] dx + x dy = 0, y = \frac{\pi}{4}$ जब $x = 1$
Exercise-9.5-13
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दिया है, $\sin ^{2}\left(\frac{y}{x}\right)-\frac{y}{x}+\frac{d y}{d x}=0 $
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}-\sin ^{2}\left(\frac{y}{x}\right) ...(i)$
अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः $\frac{y}{x}=v$ रखने पर,
अर्थात् $y = vx $
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
समी. $(i)$ से, $v + x \frac{d v}{d x} = v - \sin^2v $
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x} = -\sin^2v $
$\Rightarrow cosec^2v dv = -\frac{1}{x}dx$
समाकलन करने पर,
$\int \operatorname{cosec}^{2} v d v=-\int \frac{d x}{x} $
$\Rightarrow -\cot v = -\log |x| + C$
$\Rightarrow \log |x| - \cot v = C $
$\Rightarrow \log |x| - \cot \left(\frac{y}{x}\right) = C (v = \frac{y}{x}$ रखने पर
जब $x = 1$, तो $y = \frac{\pi}{4},$ अतः $\log |1| - \cot \frac{\pi}{4} = C$
$ \Rightarrow C = 0 - 1 = -1$
$C$ का मान समी $(ii)$ में रखने पर,
$\log |x| - \cot \left(\frac{y}{x}\right) = -1 $
$\Rightarrow \log |x| - \cot \left(\frac{y}{x}\right) = -\log e $
$(\because 1 = log_e)$
$\Rightarrow\cot \left(\frac{y}{x}\right) = \log |ex| $
$(\because \log m + \log n = \log mn)$
जोकि दिए गए समीकरण का अभीष्ट हल है।
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}-\sin ^{2}\left(\frac{y}{x}\right) ...(i)$
अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः $\frac{y}{x}=v$ रखने पर,
अर्थात् $y = vx $
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
समी. $(i)$ से, $v + x \frac{d v}{d x} = v - \sin^2v $
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x} = -\sin^2v $
$\Rightarrow cosec^2v dv = -\frac{1}{x}dx$
समाकलन करने पर,
$\int \operatorname{cosec}^{2} v d v=-\int \frac{d x}{x} $
$\Rightarrow -\cot v = -\log |x| + C$
$\Rightarrow \log |x| - \cot v = C $
$\Rightarrow \log |x| - \cot \left(\frac{y}{x}\right) = C (v = \frac{y}{x}$ रखने पर
जब $x = 1$, तो $y = \frac{\pi}{4},$ अतः $\log |1| - \cot \frac{\pi}{4} = C$
$ \Rightarrow C = 0 - 1 = -1$
$C$ का मान समी $(ii)$ में रखने पर,
$\log |x| - \cot \left(\frac{y}{x}\right) = -1 $
$\Rightarrow \log |x| - \cot \left(\frac{y}{x}\right) = -\log e $
$(\because 1 = log_e)$
$\Rightarrow\cot \left(\frac{y}{x}\right) = \log |ex| $
$(\because \log m + \log n = \log mn)$
जोकि दिए गए समीकरण का अभीष्ट हल है।
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