अवकल समीकरण $x\frac{d y}{d x} + y - x + xy \cot x = 0 (x \ne 0)$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
Exercise-9.6-9
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दिया है, $x \frac{d y}{d x} + y - x + xy \cot x = 0 \Rightarrow x \frac{d y}{d x} + y(1 + x \cot x) = x$
अवकल समीकरण में $x$ से भाग करने पर, $\frac{d y}{d x}+\frac{y(1+x \cot x)}{x}=1$
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} + Py = Q$ से तुलना करने पर,
$\therefore P=\frac{1+x \cot x}{x}$ तथा $Q = 1$
$\therefore ($समाकलन गुणांक$) IF = e^{\int P d x}=e^{\int \left(\frac{1}{x}+\cot x\right) d x} = e^{\log x + \log |\sin x|} = e^{\log (x \sin x)}$
$\Rightarrow IF = x \sin x (e^{\log a x} = ax) ...(i)$
अतः दिए गए अवकल समीकरण का हल
$y \cdot {IF}=\int Q \times {IF} d x+C \Rightarrow y(x\sin x) = \int {\mathop x\limits_{\text{I}} } \mathop {\sin x}\limits_{{\text{II}}} dx + C$
$\Rightarrow y(x \sin x) = -x \cos x + \int \cos x d x+C ($खण्डशः समाकलन करने पर$)$
$\Rightarrow y(x \sin x) = -x \cos x + \sin x + C$
$\Rightarrow y = \frac{-x \cos x}{x \sin x}+\frac{\sin x}{x \sin x}+\frac{C}{x \sin x} \Rightarrow y=\frac{1}{x}-\cot x+\frac{C}{x \sin x}$
अवकल समीकरण में $x$ से भाग करने पर, $\frac{d y}{d x}+\frac{y(1+x \cot x)}{x}=1$
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} + Py = Q$ से तुलना करने पर,
$\therefore P=\frac{1+x \cot x}{x}$ तथा $Q = 1$
$\therefore ($समाकलन गुणांक$) IF = e^{\int P d x}=e^{\int \left(\frac{1}{x}+\cot x\right) d x} = e^{\log x + \log |\sin x|} = e^{\log (x \sin x)}$
$\Rightarrow IF = x \sin x (e^{\log a x} = ax) ...(i)$
अतः दिए गए अवकल समीकरण का हल
$y \cdot {IF}=\int Q \times {IF} d x+C \Rightarrow y(x\sin x) = \int {\mathop x\limits_{\text{I}} } \mathop {\sin x}\limits_{{\text{II}}} dx + C$
$\Rightarrow y(x \sin x) = -x \cos x + \int \cos x d x+C ($खण्डशः समाकलन करने पर$)$
$\Rightarrow y(x \sin x) = -x \cos x + \sin x + C$
$\Rightarrow y = \frac{-x \cos x}{x \sin x}+\frac{\sin x}{x \sin x}+\frac{C}{x \sin x} \Rightarrow y=\frac{1}{x}-\cot x+\frac{C}{x \sin x}$
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