दर्शाइए कि वक्रों का कुल, जिनके किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{x^{2}+y^{2}}{2 x y}$ है, $x^2 - y^2 = cx$ द्वारा प्रदत्त है।
example-18
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हम जानते हैं कि एक वक्र के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{d y}{d x}$ के बराबर होती है।
इसलिए $\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+y^{2}}{2 x y}$ या $\frac{d y}{d x}=\frac{1+\frac{y^{2}}{x^{2}}}{\frac{2 y}{x}} ...(i)$
स्पष्टतः समीकरण $(i)$ समघातीय अवकल समीकरण है।
इसको हल करने के लिए हम $y = vx$ प्रतिस्थापन करते हैं।
$y = vx$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर हम पाते हैं:
$\frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$ या $v+x \frac{d v}{d x}=\frac{1+v^{2}}{2 v}$
अतः $x \frac{d v}{d x}=\frac{1-v^{2}}{2 v}$ या $\frac{2 v}{1-v^{2}} d v=\frac{d x}{x}$ या $\frac{2 v}{v^{2}-1} d v=-\frac{d x}{x}$
इसलिए $\int \frac{2 v}{v^{2}-1} d v=-\int \frac{1}{x} d x$
अथवा $\log |v^2 - 1| = -\log |x| + \log |C_1|$
अथवा $\log |(v^2 - 1)(x)| = \log |C_1|$
अथवा $(v^2 - 1)x = \pm C_1$
$v$ को $\frac{y}{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$\left(\frac{y^{2}}{x^{2}}-1\right) x=\pm \mathrm{C}_{1}$
अथवा $(y^2 - x^2) = \pm\ C_1 x$ या $x^2 - y^2 = Cx$
इसलिए $\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+y^{2}}{2 x y}$ या $\frac{d y}{d x}=\frac{1+\frac{y^{2}}{x^{2}}}{\frac{2 y}{x}} ...(i)$
स्पष्टतः समीकरण $(i)$ समघातीय अवकल समीकरण है।
इसको हल करने के लिए हम $y = vx$ प्रतिस्थापन करते हैं।
$y = vx$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर हम पाते हैं:
$\frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$ या $v+x \frac{d v}{d x}=\frac{1+v^{2}}{2 v}$
अतः $x \frac{d v}{d x}=\frac{1-v^{2}}{2 v}$ या $\frac{2 v}{1-v^{2}} d v=\frac{d x}{x}$ या $\frac{2 v}{v^{2}-1} d v=-\frac{d x}{x}$
इसलिए $\int \frac{2 v}{v^{2}-1} d v=-\int \frac{1}{x} d x$
अथवा $\log |v^2 - 1| = -\log |x| + \log |C_1|$
अथवा $\log |(v^2 - 1)(x)| = \log |C_1|$
अथवा $(v^2 - 1)x = \pm C_1$
$v$ को $\frac{y}{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$\left(\frac{y^{2}}{x^{2}}-1\right) x=\pm \mathrm{C}_{1}$
अथवा $(y^2 - x^2) = \pm\ C_1 x$ या $x^2 - y^2 = Cx$
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