अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} + y \cot x = 4x cosec x (x \neq 0)$ एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है कि $y = 0$ यदि $x = \frac{\pi}{2}$
Miscellaneous Exercise-13
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दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} + y \cot x = 4x\ cosec \ x ...(i)$
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} + Py = Q$ से तुलना करने पर,
$P = \cot x, Q = 4x\ cosec \ x$ तथा $IF = e^{\int P d x}$
$\therefore ($समाकलन गुणांक$) |F = e^{\int \cot x d x} \Rightarrow IF = e^{\log |\sin x|} = \sin x$
अतः दिए गए अवकल समीकरण का व्यापक हल
$y \cdot \mathrm{IF}=\int Q \times \mathrm{IF} d x+C \Rightarrow y \sin x=\int 4 x \operatorname{cosec} x \sin x d x+C$
$\Rightarrow y \sin x=\int 4 x d x+C \Rightarrow y \sin x=4 \cdot \frac{x^{2}}{2}+C$
$\Rightarrow y \sin x = 2x^2 + C ...(ii)$
अब, $x = \frac{\pi}{2}$ तथा $y = 0$
$\therefore0 \times \sin \frac{\pi}{2}=2\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}+C \Rightarrow C=-\frac{\pi^{2}}{2}$
$C$ का मान समी. $(ii)$ में रखने पर,$ y \sin x = 2x^2 - \frac{\pi^{2}}{2}$
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} + Py = Q$ से तुलना करने पर,
$P = \cot x, Q = 4x\ cosec \ x$ तथा $IF = e^{\int P d x}$
$\therefore ($समाकलन गुणांक$) |F = e^{\int \cot x d x} \Rightarrow IF = e^{\log |\sin x|} = \sin x$
अतः दिए गए अवकल समीकरण का व्यापक हल
$y \cdot \mathrm{IF}=\int Q \times \mathrm{IF} d x+C \Rightarrow y \sin x=\int 4 x \operatorname{cosec} x \sin x d x+C$
$\Rightarrow y \sin x=\int 4 x d x+C \Rightarrow y \sin x=4 \cdot \frac{x^{2}}{2}+C$
$\Rightarrow y \sin x = 2x^2 + C ...(ii)$
अब, $x = \frac{\pi}{2}$ तथा $y = 0$
$\therefore0 \times \sin \frac{\pi}{2}=2\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}+C \Rightarrow C=-\frac{\pi^{2}}{2}$
$C$ का मान समी. $(ii)$ में रखने पर,$ y \sin x = 2x^2 - \frac{\pi^{2}}{2}$
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