अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} - y = \cos x$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
example-19
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दिया हुआ अवकल समीकरण
$\frac{d y}{d x}+\mathrm{P} y=\mathrm{Q}$ है, जहाँ $P = -1$ और $Q = \cos x$
इसलिए $I.F. =e^{\int-1 d x}=e^{-x}$
समीकरण के दोनों पक्षों को $I.F$. से गुणा करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$e^{-x} \frac{d y}{d x}-e^{-x} y = e^{-x} \cos x$
अथवा $\frac{d}{d x}(ye^{-x}) = e^{-x} \cos x$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$ye^{-x} = \int e^{-x} \cos x d x+\mathrm{C} ...(i)$
मान लीजिए कि $ \mathrm{I} =\int e^{-x} \cos x d x$
$=\cos x\left(\frac{e^{-x}}{-1}\right)-\int(-\sin x)\left(-e^{-x}\right) d x$
$=-\cos x e^{-x}-\int \sin x e^{-x} d x$
$=-\cos x e^{-x}-\left[\sin x\left(-e^{-x}\right)-\int \cos x\left(-e^{-x}\right) d x\right]$
$=-\cos x e^{-x}+\sin x e^{-x}-\int \cos x e^{-x} d x$
अथवा $I = -e^{-x} \cos x + \sin x e^{-x} - I$
अथवा $2I = (\sin x - \cos x) e^{-x}$
अथवा $\mathrm{I} =\frac{(\sin x-\cos x) e^{-x}}{2}$
समीकरण $(i)$ में $I$ का मान प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$y e^{-x}=\left(\frac{\sin x-\cos x}{2}\right) e^{-x}+\mathrm{C}$
अथवा $y=\frac{\sin x-\cos x}{2}+\mathrm{C} e^{x}$
यह दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल है।
$\frac{d y}{d x}+\mathrm{P} y=\mathrm{Q}$ है, जहाँ $P = -1$ और $Q = \cos x$
इसलिए $I.F. =e^{\int-1 d x}=e^{-x}$
समीकरण के दोनों पक्षों को $I.F$. से गुणा करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$e^{-x} \frac{d y}{d x}-e^{-x} y = e^{-x} \cos x$
अथवा $\frac{d}{d x}(ye^{-x}) = e^{-x} \cos x$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$ye^{-x} = \int e^{-x} \cos x d x+\mathrm{C} ...(i)$
मान लीजिए कि $ \mathrm{I} =\int e^{-x} \cos x d x$
$=\cos x\left(\frac{e^{-x}}{-1}\right)-\int(-\sin x)\left(-e^{-x}\right) d x$
$=-\cos x e^{-x}-\int \sin x e^{-x} d x$
$=-\cos x e^{-x}-\left[\sin x\left(-e^{-x}\right)-\int \cos x\left(-e^{-x}\right) d x\right]$
$=-\cos x e^{-x}+\sin x e^{-x}-\int \cos x e^{-x} d x$
अथवा $I = -e^{-x} \cos x + \sin x e^{-x} - I$
अथवा $2I = (\sin x - \cos x) e^{-x}$
अथवा $\mathrm{I} =\frac{(\sin x-\cos x) e^{-x}}{2}$
समीकरण $(i)$ में $I$ का मान प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$y e^{-x}=\left(\frac{\sin x-\cos x}{2}\right) e^{-x}+\mathrm{C}$
अथवा $y=\frac{\sin x-\cos x}{2}+\mathrm{C} e^{x}$
यह दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल है।
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