अवकल समीकरण $(x dy - y dx)y \sin \left(\frac{y}{x}\right) = (y dx + x dy)x \cos \left(\frac{y}{x}\right)$ को हल कीजिए।
example-27
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दिया हुआ अवकल समीकरण निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है।
$\left[x y \sin \left(\frac{y}{x}\right)-x^{2} \cos \left(\frac{y}{x}\right)\right] d y$
$=\left[x y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+y^{2} \sin \left(\frac{y}{x}\right)\right] d x$
अथवा $\frac{d y}{d x}=\frac{x y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+y^{2} \sin \left(\frac{y}{x}\right)}{x y \sin \left(\frac{y}{x}\right)-x^{2} \cos \left(\frac{y}{x}\right)}$
दायें पक्ष पर अंश एवं हर दोनों को $x^{2}$ से भाग देने पर हम पाते हैं:
$\frac{d y}{d x}=\frac{\frac{y}{x} \cos \left(\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y^{2}}{x^{2}}\right) \sin \left(\frac{y}{x}\right)}{\frac{y}{x} \sin \left(\frac{y}{x}\right)-\cos \left(\frac{y}{x}\right)} ...(i)$
स्पष्टतः समीकरण $(i), \frac{d y}{d x}=g\left(\frac{y}{x}\right)$ के रूप का समघातीय अवकल समीकरण है, इसलिए इस समीकरण को हल करने के लिए हम
$y = vx ...(ii)$
प्रतिस्थापित करते हैं।
अथवा $\frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
अथवा $v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v \cos v+v^{2} \sin v}{v \sin v-\cos v} [$समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का प्रयोग करने पर$]$
अथवा $x \frac{d v}{d x}=\frac{2 v \cos v}{v \sin v-\cos v}$
अथवा $\left(\frac{v \sin v-\cos v}{v \cos v}\right) d v=\frac{2 d x}{x}$
इसलिए $\int\left(\frac{v \sin v-\cos v}{v \cos v}\right) d v=2 \int \frac{1}{x} d x$
अथवा $\int \tan v d v-\int \frac{1}{v} d v=2 \int \frac{1}{x} d x$
अथवा $\log |\sec v| - \log |v| = 2 \log |x| + \log |C_1|$
अथवा $\log \left|\frac{\sec v}{v x^{2}}\right| = \log |C_1|$
अथवा $\frac{\sec v}{v x^{2}}=\pm \mathrm{C}_{1} ...(iii)$
समीकरण $(iii)$ में $v$ को $\frac{y}{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि
$\frac{\sec \left(\frac{y}{x}\right)}{\left(\frac{y}{x}\right)\left(x^{2}\right)}=\mathrm{C}$, जहाँ $C = \pm C_1$
अथवा $\sec \left(\frac{y}{x}\right) = C xy$
यह दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल है।
$\left[x y \sin \left(\frac{y}{x}\right)-x^{2} \cos \left(\frac{y}{x}\right)\right] d y$
$=\left[x y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+y^{2} \sin \left(\frac{y}{x}\right)\right] d x$
अथवा $\frac{d y}{d x}=\frac{x y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+y^{2} \sin \left(\frac{y}{x}\right)}{x y \sin \left(\frac{y}{x}\right)-x^{2} \cos \left(\frac{y}{x}\right)}$
दायें पक्ष पर अंश एवं हर दोनों को $x^{2}$ से भाग देने पर हम पाते हैं:
$\frac{d y}{d x}=\frac{\frac{y}{x} \cos \left(\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y^{2}}{x^{2}}\right) \sin \left(\frac{y}{x}\right)}{\frac{y}{x} \sin \left(\frac{y}{x}\right)-\cos \left(\frac{y}{x}\right)} ...(i)$
स्पष्टतः समीकरण $(i), \frac{d y}{d x}=g\left(\frac{y}{x}\right)$ के रूप का समघातीय अवकल समीकरण है, इसलिए इस समीकरण को हल करने के लिए हम
$y = vx ...(ii)$
प्रतिस्थापित करते हैं।
अथवा $\frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
अथवा $v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v \cos v+v^{2} \sin v}{v \sin v-\cos v} [$समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का प्रयोग करने पर$]$
अथवा $x \frac{d v}{d x}=\frac{2 v \cos v}{v \sin v-\cos v}$
अथवा $\left(\frac{v \sin v-\cos v}{v \cos v}\right) d v=\frac{2 d x}{x}$
इसलिए $\int\left(\frac{v \sin v-\cos v}{v \cos v}\right) d v=2 \int \frac{1}{x} d x$
अथवा $\int \tan v d v-\int \frac{1}{v} d v=2 \int \frac{1}{x} d x$
अथवा $\log |\sec v| - \log |v| = 2 \log |x| + \log |C_1|$
अथवा $\log \left|\frac{\sec v}{v x^{2}}\right| = \log |C_1|$
अथवा $\frac{\sec v}{v x^{2}}=\pm \mathrm{C}_{1} ...(iii)$
समीकरण $(iii)$ में $v$ को $\frac{y}{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि
$\frac{\sec \left(\frac{y}{x}\right)}{\left(\frac{y}{x}\right)\left(x^{2}\right)}=\mathrm{C}$, जहाँ $C = \pm C_1$
अथवा $\sec \left(\frac{y}{x}\right) = C xy$
यह दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल है।
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