अवकल समीकरण $x \frac{d y}{d x} + 2y = x^2(x \neq 0)$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
example-20
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दिया हुआ अवकल समीकरण है:
$x \frac{d y}{d x}+2 y=x^{2} ...(i)$
समीकरण $(i)$ के दोनों पक्षों को $x$ से भाग देने पर हम प्राप्त करते हैं:
$\frac{d y}{d x}+\frac{2}{x} y=x$
यह, $\frac{d y}{d x} + Py = Q$, के रूप का रैखिक अवकल समीकरण है। यहाँ $ \mathrm{P}=\frac{2}{x} $एवं $Q = x$ है।
इसलिएI.$F. =e^{\int \frac{2}{x} d x} = e^{2 \log x} = e^{\log x^{2}} = x^2 [$जैसा कि $e^{\log f(x)} = f(x)]$
इसलिए दिए हुए समीकरण का हल है:
$y \cdot x^2 = \int(x)\left(x^{2}\right) d x+\mathrm{C}=\int x^{3} d x+\mathrm{C}$
अथवा $y=\frac{x^{2}}{4}+\mathrm{C} x^{-2}$
यह दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक है।
$x \frac{d y}{d x}+2 y=x^{2} ...(i)$
समीकरण $(i)$ के दोनों पक्षों को $x$ से भाग देने पर हम प्राप्त करते हैं:
$\frac{d y}{d x}+\frac{2}{x} y=x$
यह, $\frac{d y}{d x} + Py = Q$, के रूप का रैखिक अवकल समीकरण है। यहाँ $ \mathrm{P}=\frac{2}{x} $एवं $Q = x$ है।
इसलिएI.$F. =e^{\int \frac{2}{x} d x} = e^{2 \log x} = e^{\log x^{2}} = x^2 [$जैसा कि $e^{\log f(x)} = f(x)]$
इसलिए दिए हुए समीकरण का हल है:
$y \cdot x^2 = \int(x)\left(x^{2}\right) d x+\mathrm{C}=\int x^{3} d x+\mathrm{C}$
अथवा $y=\frac{x^{2}}{4}+\mathrm{C} x^{-2}$
यह दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक है।
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