अवकल समीकरण $\left[\frac{e^{-2 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}-\frac{y}{\sqrt{x}}\right] \frac{d x}{d y}=1(x \neq 0)$ को हल कीजिए।
Miscellaneous Exercise-12
Download our app for free and get started
दिया गया अवकल समीकरण $\left(\frac{e^{-2 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}-\frac{y}{\sqrt{x}}\right) \frac{d x}{d y}=1$ ...(i)
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{e^{-2 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}-\frac{y}{\sqrt{x}}$ $\Rightarrow \frac{d y}{d x}+\frac{1}{\sqrt{x}} y=\frac{e^{-2 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$ ...(ii)
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}$ + Py = Q से तुलना करने पर,
$P=\frac{1}{\sqrt{x}}, Q=\frac{e^{-2 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$
$\therefore$ (समाकलन गुणांक) IF $= e^{\int \frac{1}{\sqrt{x}} d x} \Rightarrow \mathrm{IF}=e^{2 x^{1 / 2}}=e^{2 \sqrt{x}}$
अतः दिए गए अवकल समीकरण का व्यापक हल
y $\cdot$ IF $= \int Q \times I F d x+C$ $\Rightarrow y e^{2 \sqrt{x}}$ $= \int e^{2 \sqrt{x}} \times \frac{e^{-2 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x+C$
$\Rightarrow y e^{2 \sqrt{x}} =\int \frac{1}{\sqrt{x}} d x+C$ $\Rightarrow y e^{2 \sqrt{x}}=2 \sqrt{x}+C$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{e^{-2 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}-\frac{y}{\sqrt{x}}$ $\Rightarrow \frac{d y}{d x}+\frac{1}{\sqrt{x}} y=\frac{e^{-2 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$ ...(ii)
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}$ + Py = Q से तुलना करने पर,
$P=\frac{1}{\sqrt{x}}, Q=\frac{e^{-2 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$
$\therefore$ (समाकलन गुणांक) IF $= e^{\int \frac{1}{\sqrt{x}} d x} \Rightarrow \mathrm{IF}=e^{2 x^{1 / 2}}=e^{2 \sqrt{x}}$
अतः दिए गए अवकल समीकरण का व्यापक हल
y $\cdot$ IF $= \int Q \times I F d x+C$ $\Rightarrow y e^{2 \sqrt{x}}$ $= \int e^{2 \sqrt{x}} \times \frac{e^{-2 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x+C$
$\Rightarrow y e^{2 \sqrt{x}} =\int \frac{1}{\sqrt{x}} d x+C$ $\Rightarrow y e^{2 \sqrt{x}}=2 \sqrt{x}+C$
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए:View Solution
$\left(1+x^{2}\right) \frac{d y}{d x}+2 x y=\frac{1}{1+x^{2}}$, जहाँ $y = 0$ तथा $x = 1$ - 2अवकल समीकरण $y dx - (x + 2y^2)dy = 0$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 3अवकल समीकरण $x \frac{d y}{d x} + 2y = x^2(x \neq 0)$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 4$(x - a)^2 + 2y^2 = a^2$ द्वारा निरुपित वक्रों के कुल का अवकल समीकरण निर्मित कीजिए, जहाँ $a$ एक स्वेच्छ अचर है।View Solution
- 5दिए गए अवकल समीकरण $(x + 1)\frac{d y}{d x} = 2e^{-y} - 1$ का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है कि $y = 0$ यदि $x = 0.$View Solution
- 6View Solutionप्रथम चतुर्थांश में ऐसे वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करते हैं।
- 7View Solutionऐसे दीर्घवृत्तों के कुल को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी नाभियाँ x-अक्ष पर हैं तथा जिनका केंद्र मूल बिंदु है।
- 8बिंदु $(-2, 3),$ से गुजरने वाले ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{2 x}{y^{2}}$ है।View Solution
- 9किसी बैंक में मूलधन की वृद्धि $5\%$ वार्षिक की दर से होती है। इस बैंक में $₹1000$ जमा कराए जाते हैं। ज्ञात कीजिए कि $10$ वर्ष बाद यह राशि कितनी हो जाएगी? $(e^{0.5} = 1.648)$View Solution
- 10अवकल समीकरण $(x + 3y^2) \frac{d y}{d x} = y\ (y > 0)$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।View Solution