दिए गए अवकल समीकरण $(x + 1)\frac{d y}{d x} = 2e^{-y} - 1$ का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है कि $y = 0$ यदि $x = 0.$
Miscellaneous Exercise-14
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दिया गया अवकल समीकरण $(x + 1) \frac{d y}{d x} = 2e^{-y} - 1 ...(i)$
चरों का पृथक्करण करने पर,
$\Rightarrow \frac{d y}{2 e^{-y}-1}=\frac{d x}{x+1}$
$\Rightarrow \frac{e^{y} d y}{2-e^{y}}=\frac{d x}{x+1}$
समाकलन करने पर$, \int \frac{e^{y} d y}{2-e^{y}}=\int \frac{d x}{x+1} ...(ii)$
मान लीजिए $2 - e^y = t$
$\Rightarrow-e^{y}=\frac{d t}{d y}$
$\Rightarrow e^ydy = -dt$
समी. $(ii)$ से$, \int \frac{-d t}{t}=\int \frac{d x}{x+1}$
$\Rightarrow -\log |t| = \log |x + 1| + \log C$
$\Rightarrow -\log |2 - e^y| = \log |C(x + 1)|$
$\Rightarrow \frac{1}{2-e^{y}} = C(x + 1)\ \left(\because-\log x=\log x^{-1}=\frac{1}{x}\right)$
$\Rightarrow 2 - e^y = \frac{1}{C(x+1)} ...(iii)$
अब$, x = 0$ तथा $y = 0$ पर,$ 2 - 1 = \frac{1}{C}$
$\Rightarrow C = 1$
$C$ का मान समी. $(iii)$ में रखने पर,
$2 - e^y = \frac{1}{(x+1)}$
$\Rightarrow e^y = 2-\frac{1}{x+1}$
$\Rightarrow e^{y}=\frac{2 x+2-1}{x+1}$
$\Rightarrow e^{y}=\frac{2 x+1}{x+1}$
$\Rightarrow y = \log \mid \frac{2 x+1}{x+1},(x \neq-1)\ (\because$ यदि $\log_e x = m \Rightarrow e^m = x)$
चरों का पृथक्करण करने पर,
$\Rightarrow \frac{d y}{2 e^{-y}-1}=\frac{d x}{x+1}$
$\Rightarrow \frac{e^{y} d y}{2-e^{y}}=\frac{d x}{x+1}$
समाकलन करने पर$, \int \frac{e^{y} d y}{2-e^{y}}=\int \frac{d x}{x+1} ...(ii)$
मान लीजिए $2 - e^y = t$
$\Rightarrow-e^{y}=\frac{d t}{d y}$
$\Rightarrow e^ydy = -dt$
समी. $(ii)$ से$, \int \frac{-d t}{t}=\int \frac{d x}{x+1}$
$\Rightarrow -\log |t| = \log |x + 1| + \log C$
$\Rightarrow -\log |2 - e^y| = \log |C(x + 1)|$
$\Rightarrow \frac{1}{2-e^{y}} = C(x + 1)\ \left(\because-\log x=\log x^{-1}=\frac{1}{x}\right)$
$\Rightarrow 2 - e^y = \frac{1}{C(x+1)} ...(iii)$
अब$, x = 0$ तथा $y = 0$ पर,$ 2 - 1 = \frac{1}{C}$
$\Rightarrow C = 1$
$C$ का मान समी. $(iii)$ में रखने पर,
$2 - e^y = \frac{1}{(x+1)}$
$\Rightarrow e^y = 2-\frac{1}{x+1}$
$\Rightarrow e^{y}=\frac{2 x+2-1}{x+1}$
$\Rightarrow e^{y}=\frac{2 x+1}{x+1}$
$\Rightarrow y = \log \mid \frac{2 x+1}{x+1},(x \neq-1)\ (\because$ यदि $\log_e x = m \Rightarrow e^m = x)$
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