अवकल समीकरण $(x + 3y^2) \frac{d y}{d x} = y\ (y > 0)$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
Exercise-9.6-12
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दिया है,$ \left(x+3 y^{2}\right) \frac{d y}{d x}=y $
$\Rightarrow y \frac{d x}{d y}=x+3 y^{2}$
$y$ से भाग करने पर, $ \frac{d x}{d y}=\frac{x}{y}+3 y $
$\Rightarrow \frac{d x}{d y}-\frac{d y}{y}$
अवकल समीकरण $ \frac{d x}{d y} + Px = Q$ से तुलना करने पर,
$P=-\frac{1}{y}, Q = 3y$
$\therefore ($समाकलन गुणांक$) IF = e^{-\int \frac{1}{y} d y} $
$\Rightarrow IF = e^{-\log y} = e^{\log (y)^{-1}}= y^{-1} = \frac{1}{y} ...(i)$
दिए गए अवकल समीकरण का हल
$x \cdot {I F}=\int Q \times IF d y+C $
$\Rightarrow x \cdot \frac{1}{y}=\int \frac{1}{y} \times 3 y\ dy+C$
$\Rightarrow \frac xy = 3y + C $
$\Rightarrow x = 3y^2 + Cy$
$\Rightarrow y \frac{d x}{d y}=x+3 y^{2}$
$y$ से भाग करने पर, $ \frac{d x}{d y}=\frac{x}{y}+3 y $
$\Rightarrow \frac{d x}{d y}-\frac{d y}{y}$
अवकल समीकरण $ \frac{d x}{d y} + Px = Q$ से तुलना करने पर,
$P=-\frac{1}{y}, Q = 3y$
$\therefore ($समाकलन गुणांक$) IF = e^{-\int \frac{1}{y} d y} $
$\Rightarrow IF = e^{-\log y} = e^{\log (y)^{-1}}= y^{-1} = \frac{1}{y} ...(i)$
दिए गए अवकल समीकरण का हल
$x \cdot {I F}=\int Q \times IF d y+C $
$\Rightarrow x \cdot \frac{1}{y}=\int \frac{1}{y} \times 3 y\ dy+C$
$\Rightarrow \frac xy = 3y + C $
$\Rightarrow x = 3y^2 + Cy$
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