अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए: $(x^3 + x^2 + x + 1)\frac{d y}{d x} = 2x^2 + x; y = 1$ यदि $x = 0$
Exercise-9.4-11
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दिया है $, (x^3 + x^2 + x + 1)\frac{d y}{d x} = 2x^2 + x$
चरों का पृथक्करण करने पर, $d y=\frac{2 x^{2}+x}{\left(x^{3}+x^{2}+x+1\right)} d x$
समाकलन करने पर, $\int d y=\int \frac{2 x^{2}+x}{\left(x^{3}+x^{2}+x+1\right)} d x \Rightarrow \int d y=\int \frac{2 x^{2}+x}{x^{2}(x+1)+1(x+1)} d x$
$ \Rightarrow \int d y=\int \frac{2 x^{2}+x}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)} d x \Rightarrow y=\int \frac{2 x^{2}+x}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)} d x ...(i)$
माना $\frac{2 x^{2}+x}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)}=\frac{A}{(x+1)}+\frac{B x+C}{\left(x^{2}+1\right)} ($आंशिक भिन्न द्वारा$) ...(ii)$
$\Rightarrow \frac{2 x^{2}+x}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)} = \frac{A\left(x^{2}+1\right)+(B x+C)(x+1)}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)}$
$\Rightarrow 2x^2 + x = Ax^2 + A + Bx^2 + Bx + Cx + C$
$\Rightarrow 2x^2 + x = x^2(A + B) + x(B + C) + (A + C)$
दोनों ओर अचर पद, $x$ तथा $x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर,
$A + B = 2, B + C = 1$ तथा $A + C = 0$
समीकरणों को हल करने पर,$ A=\frac{1}{2}, B=\frac{3}{2}$ तथा $C=-\frac{1}{2}$
$A, B$ तथा $C$ के मान समी. $(ii)$ में रखने पर,
$\frac{2 x^{2}+x}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)} =\frac{1}{2(x+1)}+\frac{\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}}{x^{2}+1}$
$\therefore\int \frac{2 x^{2}+x}{\left(x^{2}+1\right)(x+1)} d x =\frac{1}{2} \int \frac{1}{(x+1)} d x+\int \frac{\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}}{\left(x^{2}+1\right)} d x$
तब, समी. $(i)$ से,
$y=\frac{1}{2} \log |x+1|+\frac{3}{2} \int \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)} d x -\frac{1}{2} \int \frac{1}{\left(x^{2}+1\right)} d x$
$\Rightarrow y=\frac{1}{2} \log |x+1|+\frac{3}{2} \int \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)} d x -\frac{1}{2} \tan ^{-1} x$
माना $x^2 + 1 = t \Rightarrow 2 x=\frac{d t}{d x}=d x=\frac{d t}{2 x}$
$\therefore y=\frac{1}{2} \log |x+1| +\frac{3}{2} \int \frac{x}{t} \frac{d t}{2 x}-\frac{1}{2} \tan ^{-1} x$
$\Rightarrow y=\frac{1}{2} \log |x+1| +\frac{3}{4} \int \frac{1}{t} d t-\frac{1}{2} \tan ^{-1} x$
$\Rightarrow y=\frac{1}{2} \log |x+1| +\frac{3}{4} \log |t|-\frac{1}{2} \tan ^{-1} x+C$
$\Rightarrow y=\frac{1}{2} \log |x+1| +\frac{3}{4} \log \left|x^{2}+1\right|-\frac{1}{2} \tan ^{-1} x+C$
$\Rightarrow y=\frac{1}{4}\left[2 \log |x+1|+3 \log \left|x^{2}+1\right|\right] -\frac{1}{2} \tan ^{-1} x+C$
$\Rightarrow y=\frac{1}{4}\left[\log \left\{(x+1)^{2}\left(x^{2}+1\right)^{3}\right\}\right] -\frac{1}{2} \tan ^{-1} x+C ...(iii) (\because \log m^n = n \log m)$
जब $x = 0$ , तब $y = 1 $ समी. $(iii)$ में रखने पर,
$1=\frac{1}{4} \log (1)-\frac{1}{2} \tan ^{-1}(0)+C \Rightarrow 1=\frac{1}{4} \times 0-\frac{1}{2} \times 0+C \Rightarrow C=1$
$C = 1$ में समी. $(iii)$ में रखने पर, $y=\frac{1}{4} [\log {(x + 1)^2(x^2 + 1)^3}] - \frac{1}{2} \tan^{-1}x + 1$
जोकि अभीष्ट व्यापक हल है।
चरों का पृथक्करण करने पर, $d y=\frac{2 x^{2}+x}{\left(x^{3}+x^{2}+x+1\right)} d x$
समाकलन करने पर, $\int d y=\int \frac{2 x^{2}+x}{\left(x^{3}+x^{2}+x+1\right)} d x \Rightarrow \int d y=\int \frac{2 x^{2}+x}{x^{2}(x+1)+1(x+1)} d x$
$ \Rightarrow \int d y=\int \frac{2 x^{2}+x}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)} d x \Rightarrow y=\int \frac{2 x^{2}+x}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)} d x ...(i)$
माना $\frac{2 x^{2}+x}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)}=\frac{A}{(x+1)}+\frac{B x+C}{\left(x^{2}+1\right)} ($आंशिक भिन्न द्वारा$) ...(ii)$
$\Rightarrow \frac{2 x^{2}+x}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)} = \frac{A\left(x^{2}+1\right)+(B x+C)(x+1)}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)}$
$\Rightarrow 2x^2 + x = Ax^2 + A + Bx^2 + Bx + Cx + C$
$\Rightarrow 2x^2 + x = x^2(A + B) + x(B + C) + (A + C)$
दोनों ओर अचर पद, $x$ तथा $x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर,
$A + B = 2, B + C = 1$ तथा $A + C = 0$
समीकरणों को हल करने पर,$ A=\frac{1}{2}, B=\frac{3}{2}$ तथा $C=-\frac{1}{2}$
$A, B$ तथा $C$ के मान समी. $(ii)$ में रखने पर,
$\frac{2 x^{2}+x}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)} =\frac{1}{2(x+1)}+\frac{\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}}{x^{2}+1}$
$\therefore\int \frac{2 x^{2}+x}{\left(x^{2}+1\right)(x+1)} d x =\frac{1}{2} \int \frac{1}{(x+1)} d x+\int \frac{\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}}{\left(x^{2}+1\right)} d x$
तब, समी. $(i)$ से,
$y=\frac{1}{2} \log |x+1|+\frac{3}{2} \int \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)} d x -\frac{1}{2} \int \frac{1}{\left(x^{2}+1\right)} d x$
$\Rightarrow y=\frac{1}{2} \log |x+1|+\frac{3}{2} \int \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)} d x -\frac{1}{2} \tan ^{-1} x$
माना $x^2 + 1 = t \Rightarrow 2 x=\frac{d t}{d x}=d x=\frac{d t}{2 x}$
$\therefore y=\frac{1}{2} \log |x+1| +\frac{3}{2} \int \frac{x}{t} \frac{d t}{2 x}-\frac{1}{2} \tan ^{-1} x$
$\Rightarrow y=\frac{1}{2} \log |x+1| +\frac{3}{4} \int \frac{1}{t} d t-\frac{1}{2} \tan ^{-1} x$
$\Rightarrow y=\frac{1}{2} \log |x+1| +\frac{3}{4} \log |t|-\frac{1}{2} \tan ^{-1} x+C$
$\Rightarrow y=\frac{1}{2} \log |x+1| +\frac{3}{4} \log \left|x^{2}+1\right|-\frac{1}{2} \tan ^{-1} x+C$
$\Rightarrow y=\frac{1}{4}\left[2 \log |x+1|+3 \log \left|x^{2}+1\right|\right] -\frac{1}{2} \tan ^{-1} x+C$
$\Rightarrow y=\frac{1}{4}\left[\log \left\{(x+1)^{2}\left(x^{2}+1\right)^{3}\right\}\right] -\frac{1}{2} \tan ^{-1} x+C ...(iii) (\because \log m^n = n \log m)$
जब $x = 0$ , तब $y = 1 $ समी. $(iii)$ में रखने पर,
$1=\frac{1}{4} \log (1)-\frac{1}{2} \tan ^{-1}(0)+C \Rightarrow 1=\frac{1}{4} \times 0-\frac{1}{2} \times 0+C \Rightarrow C=1$
$C = 1$ में समी. $(iii)$ में रखने पर, $y=\frac{1}{4} [\log {(x + 1)^2(x^2 + 1)^3}] - \frac{1}{2} \tan^{-1}x + 1$
जोकि अभीष्ट व्यापक हल है।
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