दर्शाइए कि अवकल समीकरण $(x - y)dy - (x + y)dx = 0$ समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए।
Exercise-9.5-3
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दिया है $, (x - y)dy - (x + y)dx = 0$
$\Rightarrow (x - y)dy = (x + y)dx $
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{x+y}{x-y} ...(i)$
अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः $y = vx$ रखने पर,
$\Rightarrow\frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
$y$ तथा $\frac{d y}{d x}$ का मान समी. $(i)$ में रखने पर,
$v+x \frac{d v}{d x} =\frac{x+v x}{x-v x} $
$\Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{1+v}{1-v}$
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x} =\frac{1+v}{1-v}-v $
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{1+v-v+v^{2}}{1-v}$
$ \Rightarrow \frac{1-v}{1+v^{2}} d v=\frac{d x}{x}$
समाकलन करने पर,
$\int \frac{1-v}{1+v^{2}} d v=\int \frac{d x}{x} $
$\Rightarrow \int \frac{1}{1+v^{2}} d v-\int \frac{v}{1+v^{2}} d x = \log |x| + C$
मान लीजिए $1 + v^2 = t $
$\Rightarrow 2 v=\frac{d t}{d v} $
$\Rightarrow d v=\frac{d t}{2 v}$
$\therefore \tan ^{-1} v-\int \frac{v}{t} \times \frac{d t}{2 v} = \log |x| + C$
$\Rightarrow \tan^{-1}v -\frac{1}{2} \log |t| = \log |x| + C$
$\Rightarrow 2 \tan^{-1}v - [\log (1 + v^2) + 2 \log (x)] = 2C (t = 1 + v^2)$ रखने पर
$\Rightarrow 2 \tan^{-1}v - \log [(1 + v^2)x^2] = 2C$
$\Rightarrow 2 \tan ^{-1} \frac{y}{x}-\log \left[\left(\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}\right) x^{2}\right]=2 C (v) = \frac{y}{x}$ रखने पर
$\Rightarrow 2tan^{-1}\frac{y}{x} - \log (x^2 + y^2) = 2C $
$\Rightarrow \tan^{-1} \frac{y}{x}-\frac{1}{2}\log (x^2 + y^2) = C$
जो दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
$\Rightarrow (x - y)dy = (x + y)dx $
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{x+y}{x-y} ...(i)$
अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः $y = vx$ रखने पर,
$\Rightarrow\frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
$y$ तथा $\frac{d y}{d x}$ का मान समी. $(i)$ में रखने पर,
$v+x \frac{d v}{d x} =\frac{x+v x}{x-v x} $
$\Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{1+v}{1-v}$
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x} =\frac{1+v}{1-v}-v $
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{1+v-v+v^{2}}{1-v}$
$ \Rightarrow \frac{1-v}{1+v^{2}} d v=\frac{d x}{x}$
समाकलन करने पर,
$\int \frac{1-v}{1+v^{2}} d v=\int \frac{d x}{x} $
$\Rightarrow \int \frac{1}{1+v^{2}} d v-\int \frac{v}{1+v^{2}} d x = \log |x| + C$
मान लीजिए $1 + v^2 = t $
$\Rightarrow 2 v=\frac{d t}{d v} $
$\Rightarrow d v=\frac{d t}{2 v}$
$\therefore \tan ^{-1} v-\int \frac{v}{t} \times \frac{d t}{2 v} = \log |x| + C$
$\Rightarrow \tan^{-1}v -\frac{1}{2} \log |t| = \log |x| + C$
$\Rightarrow 2 \tan^{-1}v - [\log (1 + v^2) + 2 \log (x)] = 2C (t = 1 + v^2)$ रखने पर
$\Rightarrow 2 \tan^{-1}v - \log [(1 + v^2)x^2] = 2C$
$\Rightarrow 2 \tan ^{-1} \frac{y}{x}-\log \left[\left(\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}\right) x^{2}\right]=2 C (v) = \frac{y}{x}$ रखने पर
$\Rightarrow 2tan^{-1}\frac{y}{x} - \log (x^2 + y^2) = 2C $
$\Rightarrow \tan^{-1} \frac{y}{x}-\frac{1}{2}\log (x^2 + y^2) = C$
जो दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
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