दर्शाइए कि अवकल समीकरण $2ye^{\frac{x}{y}}dx + (y - 2x e^{\frac{x}{y}})dy = 0$ समघातीय है और यदि, $x = 0$ जब $y = 1$ दिया हुआ हो तो इस समीकरण का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।
example-17
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दिया हुआ अवकल समीकरण निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:
$\frac{d x}{d y}=\frac{2 x e^{\frac{x}{y}}-y}{2 y e^{\frac{x}{y}}} ...(i)$
मान लीजिए $F(x, y) =\frac{2 x e^{\frac{x}{y}}-y}{2 y e^{\frac{x}{y}}}$ तब $\mathrm{F}(\lambda x, \lambda y) =\frac{\lambda\left(2 x e^{\frac{x}{y}}-y\right)}{\lambda\left(2 y e^{\frac{x}{y}}\right)}=\lambda^{\circ}[F(x, y)]$
अतः $F(x, y)$ शून्य घात वाला समघातीय फलन है।
इसलिए, दिया हुआ अवकल समीकरण एक समघातीय अवकल समीकरण है।
इसका हल ज्ञात करने के लिए, हम $x = vy ...(ii)$ प्रतिस्थापन करते हैं।
समीकरण $(ii)$ का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$\frac{d x}{d y}=v+y \frac{d v}{d y}$
समीकरण $(i)$ में $x$ एवं $\frac{d x}{d y}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$v+y \frac{d v}{d y}=\frac{2 v e^{v}-1}{2 e^{v}}$
अथवा $y \frac{d v}{d y}=\frac{2 v e^{v}-1}{2 e^{v}}-v$
अथवा $y \frac{d v}{d y}=-\frac{1}{2 e^{v}}$
अथवा $2 e^{v} d v=\frac{-d y}{y}$
अथवा $ \int 2 e^{v} \cdot d v=-\int \frac{d y}{y}$
अथवा $2e^v = -\log |y| + C$
$v$ को $\frac{x}{y}$ से प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$2e^{\frac{x}{y}} + \log |y| = C ...(iii)$
समीकरण $(iii)$ में, $x = 0$ एवं $y = 1$ प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$2e^0 + \log |1| = C \Rightarrow C = 2$
$C$ का मान समीकरण $(iii)$ में प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$2e^{\frac{x}{y}} + \log |y| = 2$
यह दिए हुए अवकल समीकरण का एक विशिष्ट हल है।
$\frac{d x}{d y}=\frac{2 x e^{\frac{x}{y}}-y}{2 y e^{\frac{x}{y}}} ...(i)$
मान लीजिए $F(x, y) =\frac{2 x e^{\frac{x}{y}}-y}{2 y e^{\frac{x}{y}}}$ तब $\mathrm{F}(\lambda x, \lambda y) =\frac{\lambda\left(2 x e^{\frac{x}{y}}-y\right)}{\lambda\left(2 y e^{\frac{x}{y}}\right)}=\lambda^{\circ}[F(x, y)]$
अतः $F(x, y)$ शून्य घात वाला समघातीय फलन है।
इसलिए, दिया हुआ अवकल समीकरण एक समघातीय अवकल समीकरण है।
इसका हल ज्ञात करने के लिए, हम $x = vy ...(ii)$ प्रतिस्थापन करते हैं।
समीकरण $(ii)$ का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$\frac{d x}{d y}=v+y \frac{d v}{d y}$
समीकरण $(i)$ में $x$ एवं $\frac{d x}{d y}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$v+y \frac{d v}{d y}=\frac{2 v e^{v}-1}{2 e^{v}}$
अथवा $y \frac{d v}{d y}=\frac{2 v e^{v}-1}{2 e^{v}}-v$
अथवा $y \frac{d v}{d y}=-\frac{1}{2 e^{v}}$
अथवा $2 e^{v} d v=\frac{-d y}{y}$
अथवा $ \int 2 e^{v} \cdot d v=-\int \frac{d y}{y}$
अथवा $2e^v = -\log |y| + C$
$v$ को $\frac{x}{y}$ से प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$2e^{\frac{x}{y}} + \log |y| = C ...(iii)$
समीकरण $(iii)$ में, $x = 0$ एवं $y = 1$ प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$2e^0 + \log |1| = C \Rightarrow C = 2$
$C$ का मान समीकरण $(iii)$ में प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$2e^{\frac{x}{y}} + \log |y| = 2$
यह दिए हुए अवकल समीकरण का एक विशिष्ट हल है।
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