दर्शाइए कि अवकल समीकरण $x^{2} \frac{d y}{d x} = x^2 - 2y^2 + xy$ समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए।
Exercise-9.5-5
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दिया है $, \frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}-2 y^{2}+x y}{x^{2}} ...(i)$
अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः $ y = vx$ रखने पर,
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
समी. $(i)$ से, $v+x \frac{d v}{d x} =\frac{x^{2}-2 x^{2} v^{2}+x^{2} v}{x^{2}}$
$\Rightarrow v+x \frac{d v}{d x} = 1 - 2v^2 + v \Rightarrow x \frac{d v}{d x} = 1 - 2v^2 \Rightarrow \frac{1}{1-2 v^{2}} d v=\frac{1}{x} d x$
समाकलन करने पर, $\int \frac{1}{1-2 v^{2}} d v=\int \frac{d x}{x} \Rightarrow \frac{1}{2} \int \frac{1}{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}-v^{2}} d v=\int \frac{d x}{x}$
$\Rightarrow\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}} \log \left|\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}+v}{\frac{1}{\sqrt{2}}-v}\right| = \log|x| + C \left(\because \int \frac{d x}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2 a} \log \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C\right)$
$\Rightarrow\frac{1}{2 \sqrt{2}} \log \left|\frac{1+\sqrt{2} v}{1-\sqrt{2 v}}\right| = \log |x| + C$
$\Rightarrow\frac{1}{2 \sqrt{2}} \log \left|\frac{1+\sqrt{2} \frac{y}{x}}{1-\sqrt{2} \frac{y}{x}}\right| = \log |x| + C (v = \frac{y}{x}$ रखने पर$)$
$\Rightarrow\frac{1}{2 \sqrt{2}} \log \left|\frac{x+\sqrt{2} y}{x-\sqrt{2} y}\right| = \log |x| + C$
जोकि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः $ y = vx$ रखने पर,
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
समी. $(i)$ से, $v+x \frac{d v}{d x} =\frac{x^{2}-2 x^{2} v^{2}+x^{2} v}{x^{2}}$
$\Rightarrow v+x \frac{d v}{d x} = 1 - 2v^2 + v \Rightarrow x \frac{d v}{d x} = 1 - 2v^2 \Rightarrow \frac{1}{1-2 v^{2}} d v=\frac{1}{x} d x$
समाकलन करने पर, $\int \frac{1}{1-2 v^{2}} d v=\int \frac{d x}{x} \Rightarrow \frac{1}{2} \int \frac{1}{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}-v^{2}} d v=\int \frac{d x}{x}$
$\Rightarrow\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}} \log \left|\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}+v}{\frac{1}{\sqrt{2}}-v}\right| = \log|x| + C \left(\because \int \frac{d x}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2 a} \log \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C\right)$
$\Rightarrow\frac{1}{2 \sqrt{2}} \log \left|\frac{1+\sqrt{2} v}{1-\sqrt{2 v}}\right| = \log |x| + C$
$\Rightarrow\frac{1}{2 \sqrt{2}} \log \left|\frac{1+\sqrt{2} \frac{y}{x}}{1-\sqrt{2} \frac{y}{x}}\right| = \log |x| + C (v = \frac{y}{x}$ रखने पर$)$
$\Rightarrow\frac{1}{2 \sqrt{2}} \log \left|\frac{x+\sqrt{2} y}{x-\sqrt{2} y}\right| = \log |x| + C$
जोकि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
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