किसी गाँव की जनसंख्या की वृद्धि की दर किसी भी समय उस गाँव के निवासियों की संख्या के समानुपाती है। यदि सन् 1999 में गाँव की जनसंख्या 20,000 थी और सन् 2004 में 25,000 थी, तो ज्ञात कीजिए कि सन् 2009 मे गाँव की जनसंख्या क्या होगी?
Miscellaneous Exercise-15
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मान लीजिए समय t पर जनसंख्या P है, तब $\frac{d y}{d t} \propto y$
$\Rightarrow \frac{d y}{d t}$ = ky, जहाँ k एक अचर है। $\Rightarrow \frac{d y}{y}$ = kdt
समाकलन करने पर, log y = kt + C ...(i)
वर्ष 1999 में, t = 0, y = 20000
$\therefore$ समी. (i) से, log 20000 = k(0) + C $\Rightarrow$ log 20000 = C ...(ii)
वर्ष 2004 में, t = 5, y = 25000
अतः समी. (i) से,
log 250000 = k5 + C $\Rightarrow$ log 25000 = 5k + log 20000 [समी. (iii) से]
$\Rightarrow$ 5k = log $\left(\frac{25000}{20000}\right)$ $= \log \left(\frac{5}{4}\right)$ $\Rightarrow k=\frac{1}{5} \log \frac{5}{4}$
वर्ष 2009 के लिए, t = 10 वर्ष
अब, t, k तथा C का मान समी. (i) में रखने पर,
log y $= 10 \times \frac{1}{5} \log \left(\frac{5}{4}\right)$ + log (20000)
$\Rightarrow$ log y = $log \left[20000 \times\left(\frac{5}{4}\right)^{2}\right]$ ($\because$ log m + log n = log mn)
$\Rightarrow$ y = 20000 $\times \frac{5}{4} \times \frac{5}{4}$ $\Rightarrow$ y = 31250
अतः वर्ष 2009 में गाँव की जनसंख्या 31250 होगी।
$\Rightarrow \frac{d y}{d t}$ = ky, जहाँ k एक अचर है। $\Rightarrow \frac{d y}{y}$ = kdt
समाकलन करने पर, log y = kt + C ...(i)
वर्ष 1999 में, t = 0, y = 20000
$\therefore$ समी. (i) से, log 20000 = k(0) + C $\Rightarrow$ log 20000 = C ...(ii)
वर्ष 2004 में, t = 5, y = 25000
अतः समी. (i) से,
log 250000 = k5 + C $\Rightarrow$ log 25000 = 5k + log 20000 [समी. (iii) से]
$\Rightarrow$ 5k = log $\left(\frac{25000}{20000}\right)$ $= \log \left(\frac{5}{4}\right)$ $\Rightarrow k=\frac{1}{5} \log \frac{5}{4}$
वर्ष 2009 के लिए, t = 10 वर्ष
अब, t, k तथा C का मान समी. (i) में रखने पर,
log y $= 10 \times \frac{1}{5} \log \left(\frac{5}{4}\right)$ + log (20000)
$\Rightarrow$ log y = $log \left[20000 \times\left(\frac{5}{4}\right)^{2}\right]$ ($\because$ log m + log n = log mn)
$\Rightarrow$ y = 20000 $\times \frac{5}{4} \times \frac{5}{4}$ $\Rightarrow$ y = 31250
अतः वर्ष 2009 में गाँव की जनसंख्या 31250 होगी।
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