अवकल समीकरण $\cos ^{2} x \frac{d y}{d x}+y=\tan x\left(0 \leq x<\frac{\pi}{2}\right)$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
Exercise-9.6-5
Download our app for free and get started
दिया है, $\cos ^{2} x \frac{d y}{d x}+y = \tan x$
$\cos^2x$ से दोनों तरफ भाग करने पर,
$\frac{d y}{d x} + y \sec^2x = \tan x \sec^2x$
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} + Py = Q$ से तुलना करने पर,
$P = \sec^2x$ तथा $Q = \tan x \sec^2x$
$\therefore ($समाकलन गुणांक$) IF = e^{\int P d x} $
$\Rightarrow e^{\int \sec ^{2} x d x} = F = e^{\tan x} ...(i)$
अतः दिए गए अवकल समीकरण का व्यापक हल
$y \cdot {IF}=\int Q \times {IF} d x+C $
$\Rightarrow ye^{\tan x} = \int e^{\tan x} \cdot \tan x \sec^2x dx$
मान लीजिए $\tan x = t $
$\Rightarrow sec^2x = \frac{d t}{d x} $
$\Rightarrow d x=\frac{d t}{\sec ^{2} x}$
$\therefore y e^{\tan x}=\int e^{t} \cdot t \sec ^{2} x \frac{d t}{\sec ^{2} x} $
$\Rightarrow y e^{\tan x}=\int e^{t} \cdot t d t$
$\Rightarrow y e^{\tan x}=e^{t} \cdot t-\int\left[\frac{d}{d t}(t) \cdot \int e^{t} d t\right] d t$
$\Rightarrow y e^{\tan x}=e^{t} \cdot t-\int e^{t} d t $
$\Rightarrow ye^{\tan x} = e^t t - e^t + C$
$\Rightarrow ye^{\tan x} = (\tan x - 1) e^{\tan x} + C$
$ \Rightarrow y = \tan x - 1 + Ce^{-\tan x}$
$\cos^2x$ से दोनों तरफ भाग करने पर,
$\frac{d y}{d x} + y \sec^2x = \tan x \sec^2x$
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} + Py = Q$ से तुलना करने पर,
$P = \sec^2x$ तथा $Q = \tan x \sec^2x$
$\therefore ($समाकलन गुणांक$) IF = e^{\int P d x} $
$\Rightarrow e^{\int \sec ^{2} x d x} = F = e^{\tan x} ...(i)$
अतः दिए गए अवकल समीकरण का व्यापक हल
$y \cdot {IF}=\int Q \times {IF} d x+C $
$\Rightarrow ye^{\tan x} = \int e^{\tan x} \cdot \tan x \sec^2x dx$
मान लीजिए $\tan x = t $
$\Rightarrow sec^2x = \frac{d t}{d x} $
$\Rightarrow d x=\frac{d t}{\sec ^{2} x}$
$\therefore y e^{\tan x}=\int e^{t} \cdot t \sec ^{2} x \frac{d t}{\sec ^{2} x} $
$\Rightarrow y e^{\tan x}=\int e^{t} \cdot t d t$
$\Rightarrow y e^{\tan x}=e^{t} \cdot t-\int\left[\frac{d}{d t}(t) \cdot \int e^{t} d t\right] d t$
$\Rightarrow y e^{\tan x}=e^{t} \cdot t-\int e^{t} d t $
$\Rightarrow ye^{\tan x} = e^t t - e^t + C$
$\Rightarrow ye^{\tan x} = (\tan x - 1) e^{\tan x} + C$
$ \Rightarrow y = \tan x - 1 + Ce^{-\tan x}$
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1अवकल समीकरण $(1 + x^2) dy + 2xy dx = \cot x dx (x \ne 0)$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 2दर्शाइए कि अवकल समीकरण $(x^2 - y^2)dx + 2xy\ dy = 0$ समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 3दर्शाइए कि अवकल समीकरण xdy - ydx = $\sqrt{x^{2}+y^{2}} d x$ समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 4दर्शाइए कि अवकल समीकरण (x - y) $\frac{d y}{d x}$ = x + 2y समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 5मूलबिंदु से गुजरने वाले एक वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिंदु के निर्देशांकों के योग के बराबर है।View Solution
- 6बिंदु $(0, 2)$ से गुजरने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिंदु के निर्देशांकों का योग उस बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा की प्रवणता के परिमाण से $5$ अधिक है।View Solution
- 7अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} - y = \cos x$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 8अवकल समीकरण $(x + y)\frac{d y}{d x} = 1$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 9एक गोलाकार गुब्बारे का आयतन, जिसे हवा भरकर फुलाया जा रहा है, स्थिर गति से बदल रहा है यदि आरंभ में इस गुब्बारे की त्रिज्या $3$ इकाई है और $3$ सेकेंड बाद $6$ इकाई है, तो t सेकेंड बाद उस गुब्बारे की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।View Solution
- 10$x-$अक्ष को मूल बिंदु पर स्पर्श करने वाले वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।View Solution