अवकल समीकरण $(x + y)\frac{d y}{d x} = 1$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
Exercise-9.6-10
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$(x+y) \frac{d y}{d x}=1 $
$\Rightarrow \frac{d x}{d y}=(x+y) $
$\Rightarrow \frac{d x}{d y}-x=y$
अवकल समीकरण $\frac{d x}{d y} + Px = Q$ से तुलना करने पर,
$P = -1, Q = y$
$\therefore ($समाकलन गुणांक$) IF = e^{\int P dy }=e^{-\int 1 d y} $
$\Rightarrow IF = e^{-y} ...(i)$
दिए गए अवकल समीकरण का हल
$x \cdot {IF}=\int Q \times {IF} d y+C $
$\Rightarrow x \cdot {e^{ - y}} = \int {\mathop {{e^{ - y}}}\limits_{{\text{II}}} } \cdot \mathop y\limits_{\text{I}} dy + C$
$\Rightarrow xe^{-y} = y \int e^{-y} d y-\int\left(\frac{d}{d y} y \int e^{-y} d y\right) d y+C \ $
$($खण्डशः समाकलन करने पर$)$
$\Rightarrow xe^{-y} = -y(e^{-y}) + \int e^{-y} d y+C$
$\Rightarrow xe^{-y} = -ye^{-y} - e^{-y} + C $
$\Rightarrow x = -y - 1 + e^yC$
$\Rightarrow x + y + 1 = Ce^y$
$\Rightarrow \frac{d x}{d y}=(x+y) $
$\Rightarrow \frac{d x}{d y}-x=y$
अवकल समीकरण $\frac{d x}{d y} + Px = Q$ से तुलना करने पर,
$P = -1, Q = y$
$\therefore ($समाकलन गुणांक$) IF = e^{\int P dy }=e^{-\int 1 d y} $
$\Rightarrow IF = e^{-y} ...(i)$
दिए गए अवकल समीकरण का हल
$x \cdot {IF}=\int Q \times {IF} d y+C $
$\Rightarrow x \cdot {e^{ - y}} = \int {\mathop {{e^{ - y}}}\limits_{{\text{II}}} } \cdot \mathop y\limits_{\text{I}} dy + C$
$\Rightarrow xe^{-y} = y \int e^{-y} d y-\int\left(\frac{d}{d y} y \int e^{-y} d y\right) d y+C \ $
$($खण्डशः समाकलन करने पर$)$
$\Rightarrow xe^{-y} = -y(e^{-y}) + \int e^{-y} d y+C$
$\Rightarrow xe^{-y} = -ye^{-y} - e^{-y} + C $
$\Rightarrow x = -y - 1 + e^yC$
$\Rightarrow x + y + 1 = Ce^y$
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