दर्शाइए कि अवकल समीकरण xdy - ydx = $\sqrt{x^{2}+y^{2}} d x$ समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए।
Exercise-9.5-6
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दिया है, xdy = ydx + $\sqrt{x^{2}+y^{2}} d x$
$\Rightarrow\frac{d y}{d x}=\frac{y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x}$ ...(i)
अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः समी. (i) में y = vx रखने पर,
$\Rightarrow\frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$,
समी. (i) से, $v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v x+\sqrt{x^{2}+x^{2} v^{2}}}{x}$
$\Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x\left(v+\sqrt{1+v^{2}}\right)}{x}$ $\Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=v+\sqrt{1+v^{2}}$
$\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{1+v^{2}}} d v=\frac{1}{x} d x$
समाकलन करने पर,
$\int \frac{1}{\sqrt{1+v^{2}}} d v=\int \frac{d x}{x}$ $\Rightarrow \log \left(v+\sqrt{1+v^{2}}\right)$ = log x + C $\left(\because \int\frac{d x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\log \left|x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right|+C\right)$
$\Rightarrow\log \left[\frac{y}{x}+\sqrt{1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}}\right]$ = log x + log C ($v=\frac{y}{x}$ रखने पर)
$\Rightarrow\log \left[\frac{y}{x}+\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}}\right]$ = log xC ($\because$ log m + log n = log mn)
$\Rightarrow\frac{y}{x}+\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x}=C x$ ($\because$ log m + log n $\Rightarrow$ log mn)
$\Rightarrow y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}=C x^{2}$
जोकि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
$\Rightarrow\frac{d y}{d x}=\frac{y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x}$ ...(i)
अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः समी. (i) में y = vx रखने पर,
$\Rightarrow\frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$,
समी. (i) से, $v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v x+\sqrt{x^{2}+x^{2} v^{2}}}{x}$
$\Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x\left(v+\sqrt{1+v^{2}}\right)}{x}$ $\Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=v+\sqrt{1+v^{2}}$
$\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{1+v^{2}}} d v=\frac{1}{x} d x$
समाकलन करने पर,
$\int \frac{1}{\sqrt{1+v^{2}}} d v=\int \frac{d x}{x}$ $\Rightarrow \log \left(v+\sqrt{1+v^{2}}\right)$ = log x + C $\left(\because \int\frac{d x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\log \left|x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right|+C\right)$
$\Rightarrow\log \left[\frac{y}{x}+\sqrt{1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}}\right]$ = log x + log C ($v=\frac{y}{x}$ रखने पर)
$\Rightarrow\log \left[\frac{y}{x}+\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}}\right]$ = log xC ($\because$ log m + log n = log mn)
$\Rightarrow\frac{y}{x}+\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x}=C x$ ($\because$ log m + log n $\Rightarrow$ log mn)
$\Rightarrow y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}=C x^{2}$
जोकि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
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