अवकल समीकरण $(\tan^{-1}y - x)dy = (1 + y^2)dx$ का हल ज्ञात कीजिए।
example-28
Download our app for free and get started
दिया हुआ अवकल समीकरण निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:
$\frac{d x}{d y}+\frac{x}{1+y^{2}}=\frac{\tan ^{-1} y}{1+y^{2}} ...(i)$
समीकरण $ (i), \frac{d x}{d y}+\mathrm{P}_{1}x = Q_1,$ के रूप का रैखिक अवकल समीकरण है। यहाँ
$\mathrm{P}_{1}=\frac{1}{1+y^{2}}$ एवं $\mathrm{Q}_{1}=\frac{\tan ^{-1} y}{1+y^{2}}$ है। इसलिए
$I.F. = e^{\int \frac{1}{1+y^{2}} d y}=e^{\tan ^{-1} y}$
इसलिए दिए हुए अवकल समीकरण का हल है:
$x e^{\tan ^{-1} y}=\int\left(\frac{\tan ^{-1} y}{1+y^{2}}\right) e^{\tan ^{-1} y} d y+\mathrm{C} ...(ii)$
मान लीजिए $ \mathrm{I}=\int\left(\frac{\tan ^{-1} y}{1+y^{2}}\right) e^{\tan ^{-1} y} d y$
$\tan^{-1}y = t$ प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि $\left(\frac{1}{1+y^{2}}\right) d y=d t$
अतः $\mathrm{I}=\int t e^{t} d t, \mathrm{I}=t e^{t}-\int 1 \cdot e^{t} e t, I = t e^t - e^t = e^t(t - 1)$
अथवा $I = e^{\tan ^{-1} y}(\tan^{-1}y - 1)$
समीकरण $(ii)$ में $I$ का मान प्रतिस्थापित करने पर हम
$x \cdot e^{\tan ^{-1} y}=e^{\tan ^{-1} y}(\tan^{-1}y - 1) + C$ पाते हैं
अथवा $x = (\tan^{-1}y - 1) + C e^{-\tan ^{-1} y}$
यह दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल है।
$\frac{d x}{d y}+\frac{x}{1+y^{2}}=\frac{\tan ^{-1} y}{1+y^{2}} ...(i)$
समीकरण $ (i), \frac{d x}{d y}+\mathrm{P}_{1}x = Q_1,$ के रूप का रैखिक अवकल समीकरण है। यहाँ
$\mathrm{P}_{1}=\frac{1}{1+y^{2}}$ एवं $\mathrm{Q}_{1}=\frac{\tan ^{-1} y}{1+y^{2}}$ है। इसलिए
$I.F. = e^{\int \frac{1}{1+y^{2}} d y}=e^{\tan ^{-1} y}$
इसलिए दिए हुए अवकल समीकरण का हल है:
$x e^{\tan ^{-1} y}=\int\left(\frac{\tan ^{-1} y}{1+y^{2}}\right) e^{\tan ^{-1} y} d y+\mathrm{C} ...(ii)$
मान लीजिए $ \mathrm{I}=\int\left(\frac{\tan ^{-1} y}{1+y^{2}}\right) e^{\tan ^{-1} y} d y$
$\tan^{-1}y = t$ प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि $\left(\frac{1}{1+y^{2}}\right) d y=d t$
अतः $\mathrm{I}=\int t e^{t} d t, \mathrm{I}=t e^{t}-\int 1 \cdot e^{t} e t, I = t e^t - e^t = e^t(t - 1)$
अथवा $I = e^{\tan ^{-1} y}(\tan^{-1}y - 1)$
समीकरण $(ii)$ में $I$ का मान प्रतिस्थापित करने पर हम
$x \cdot e^{\tan ^{-1} y}=e^{\tan ^{-1} y}(\tan^{-1}y - 1) + C$ पाते हैं
अथवा $x = (\tan^{-1}y - 1) + C e^{-\tan ^{-1} y}$
यह दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल है।
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए: $ (x^2 - 1)\frac{d y}{d x} = 1$ जहाँ $y = 0$ तथा $x = 2$View Solution
- 2दर्शाइए कि अवकल समीकरण $x \frac{d y}{d x}-y+x \sin \left(\frac{y}{x}\right)=0$ समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 3दर्शाइए कि अवकल समीकरण $y^{\prime}=\frac{x+y}{x}$ समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 4View Solutionकिसी गाँव की जनसंख्या की वृद्धि की दर किसी भी समय उस गाँव के निवासियों की संख्या के समानुपाती है। यदि सन् 1999 में गाँव की जनसंख्या 20,000 थी और सन् 2004 में 25,000 थी, तो ज्ञात कीजिए कि सन् 2009 मे गाँव की जनसंख्या क्या होगी?
- 5अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए: $2xy + y^2 - 2x^2 \frac{d y}{d x} = 0, y = 2$ जब $x = 1$View Solution
- 6View Solutionअवकल समीकरण (x - y)(dx + dy) = dx - dy का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है कि y = -1 यदि x = 0.
- 7अवकल समीकरण $xlog\ x \frac{d y}{d x} + y = \frac{2}{x} \log x$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 8एक गोलाकार गुब्बारे का आयतन, जिसे हवा भरकर फुलाया जा रहा है, स्थिर गति से बदल रहा है यदि आरंभ में इस गुब्बारे की त्रिज्या $3$ इकाई है और $3$ सेकेंड बाद $6$ इकाई है, तो t सेकेंड बाद उस गुब्बारे की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।View Solution
- 9दर्शाइए कि अवकल समीकरण $(x^2 + xy)dy = (x^2 + y^2)dx$ समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 10दर्शाइए कि अवकल समीकरण $(x^2 - y^2)dx + 2xy\ dy = 0$ समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए।View Solution