सत्यापित कीजिए कि फलन $y = c_1e^{ax} \cos bx + c_2e^{ax} \sin bx,$ जहाँ $c_1, c_2$ स्वेच्छ अचर है, अवकल समीकरण $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 a \frac{d y}{d x} + (a^2 + b^2)y = 0$ का हल है।
example-24
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दिया हुआ फलन है:
$y = e^{ax}[c_1 \cos bx + c_2 \sin bx] ...(i)$
समीकरण $(i)$ के दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर हम पाते हैं कि
$\frac{d y}{d x} = e^{ax}[-bc_1sin bx + bc_2cos bx] + [c_1cos bx + c_2sin bx]e^{ax} \cdot a$
अथवा $\frac{d y}{d x} = e^{ax}[(bc_2 + ac_1) \cos bx + (ac_2 - bc_1)\sin bx] ...(ii)$
समीकरण $(ii)$ के दोनों पक्षों का $x,$ के सापेक्ष अवकलन करने पर हम पाते हैं कि
$\frac{d^2 y}{d x^2} = e^{ax}[(bc_2 + ac_1)(-\sin bx.b) + (ac_2 - bc_1)(\cos bx.b)] + [(bc_2 + ac_1)\cos bx + (ac_2 - bc_1)\sin bx]e^{ax}.a$
$= e^{ax}[(a_2c_2 - 2abc_1 - b_2c_2)\sin bx + (a_2c_1 + 2abc_2 - b_2c_1)\cos bx]$
दिए गए अवकल समीकरण में $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}, \frac{d y}{d x}$ एवं $y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं:
बायाँ पक्ष $= e^{ax}[a^2c_2 - 2abc_1 - b^2c_2)\sin bx + (a^2c_1 + 2abc_2 - b^2c_1)$$\cos bx] - 2ae^{ax}[(bc_2 + ac_1)\cos bx + (ac_2 - bc_1)sinbx] + (a_2 + b_2)e^{ax}[c_1cos bx + c_2sin bx]$
$= e^{ax}[(a^2c^2 - 2abc_1 - b^2c_2 - 2a^2c_2 + 2abc_1 + a^2c_2 + b^2c_2)\sin bx + $$(a^2c_1 + 2abc_2 - b^2c_1 - 2abc_2 - 2a^2c_1 + a^2c_1 + b^2c_1)\cos bx]$
$= e^{ax}[0 \times \sin bx + 0 \cos bx] = e^{ax} \times 0 = 0 =$ दायाँ पक्ष
इसलिए दिया हुआ फलन दिए हुए अवकल समीकरण का हल है।
$y = e^{ax}[c_1 \cos bx + c_2 \sin bx] ...(i)$
समीकरण $(i)$ के दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर हम पाते हैं कि
$\frac{d y}{d x} = e^{ax}[-bc_1sin bx + bc_2cos bx] + [c_1cos bx + c_2sin bx]e^{ax} \cdot a$
अथवा $\frac{d y}{d x} = e^{ax}[(bc_2 + ac_1) \cos bx + (ac_2 - bc_1)\sin bx] ...(ii)$
समीकरण $(ii)$ के दोनों पक्षों का $x,$ के सापेक्ष अवकलन करने पर हम पाते हैं कि
$\frac{d^2 y}{d x^2} = e^{ax}[(bc_2 + ac_1)(-\sin bx.b) + (ac_2 - bc_1)(\cos bx.b)] + [(bc_2 + ac_1)\cos bx + (ac_2 - bc_1)\sin bx]e^{ax}.a$
$= e^{ax}[(a_2c_2 - 2abc_1 - b_2c_2)\sin bx + (a_2c_1 + 2abc_2 - b_2c_1)\cos bx]$
दिए गए अवकल समीकरण में $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}, \frac{d y}{d x}$ एवं $y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं:
बायाँ पक्ष $= e^{ax}[a^2c_2 - 2abc_1 - b^2c_2)\sin bx + (a^2c_1 + 2abc_2 - b^2c_1)$$\cos bx] - 2ae^{ax}[(bc_2 + ac_1)\cos bx + (ac_2 - bc_1)sinbx] + (a_2 + b_2)e^{ax}[c_1cos bx + c_2sin bx]$
$= e^{ax}[(a^2c^2 - 2abc_1 - b^2c_2 - 2a^2c_2 + 2abc_1 + a^2c_2 + b^2c_2)\sin bx + $$(a^2c_1 + 2abc_2 - b^2c_1 - 2abc_2 - 2a^2c_1 + a^2c_1 + b^2c_1)\cos bx]$
$= e^{ax}[0 \times \sin bx + 0 \cos bx] = e^{ax} \times 0 = 0 =$ दायाँ पक्ष
इसलिए दिया हुआ फलन दिए हुए अवकल समीकरण का हल है।
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