मूलबिंदु से गुजरने वाले एक वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिंदु के निर्देशांकों के योग के बराबर है।
Exercise-9.6-16
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प्रश्नानुसार, अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} = x + y $
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} - y = x$
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}+ Py = Q$ से तुलना करने पर,
$P = -1$ तथा $Q = x$
$\therefore ($समाकलन गुणांक$) IF = e^{-\int1 d x} $
$\Rightarrow IF = e^{-x}$
दिए गए अवकल समीकरण का हल
$y \cdot {I F}=\int Q \times {I F} d x+C $
$\Rightarrow y{e^{ - x}} = \int {\mathop {{e^{ - x}}}\limits_{{\text{II}}} } \mathop x\limits_{\text{I}} dx + C$
$\Rightarrow y e^{-x}=x \int e^{-x} d x -\int\left[\frac{d}{d x}(x) \int e^{-x} d x\right] d x+C \ $
$[$खण्डशः समाकलन से$]$
$\Rightarrow y \cdot e^{-x}=-x e^{-x}+\int e^{-x} d x+C$
$\Rightarrow e^{-x}y = -xe^{-x} - e^{-x} + C ...(i)$
चूँकि वक्र बिंदु $(0, 0)$ से होकर जाता है। अतः
$(0)e^{-0} = -0(e^{-0}) - e^{-0} + C $
$\Rightarrow C = 1$
$C$ का मान समी. $(ii)$ में रखने पर,
$\Rightarrow e^{-x}y = -xe^{-x} - e^{-x} + 1$
$\Rightarrow y = -x - 1 + e^x $
$\Rightarrow x + y + 1 = e^x$
जोकि वक्र का अभीष्ट समीकरण है।
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} - y = x$
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}+ Py = Q$ से तुलना करने पर,
$P = -1$ तथा $Q = x$
$\therefore ($समाकलन गुणांक$) IF = e^{-\int1 d x} $
$\Rightarrow IF = e^{-x}$
दिए गए अवकल समीकरण का हल
$y \cdot {I F}=\int Q \times {I F} d x+C $
$\Rightarrow y{e^{ - x}} = \int {\mathop {{e^{ - x}}}\limits_{{\text{II}}} } \mathop x\limits_{\text{I}} dx + C$
$\Rightarrow y e^{-x}=x \int e^{-x} d x -\int\left[\frac{d}{d x}(x) \int e^{-x} d x\right] d x+C \ $
$[$खण्डशः समाकलन से$]$
$\Rightarrow y \cdot e^{-x}=-x e^{-x}+\int e^{-x} d x+C$
$\Rightarrow e^{-x}y = -xe^{-x} - e^{-x} + C ...(i)$
चूँकि वक्र बिंदु $(0, 0)$ से होकर जाता है। अतः
$(0)e^{-0} = -0(e^{-0}) - e^{-0} + C $
$\Rightarrow C = 1$
$C$ का मान समी. $(ii)$ में रखने पर,
$\Rightarrow e^{-x}y = -xe^{-x} - e^{-x} + 1$
$\Rightarrow y = -x - 1 + e^x $
$\Rightarrow x + y + 1 = e^x$
जोकि वक्र का अभीष्ट समीकरण है।
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