अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} + 2y = \sin x$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
Exercise-9.6-1
Download our app for free and get started
दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 2y = \sin x$ रैखिक है।
अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ से तुलना करने पर,
अतः $ P = 2$ तथा $Q = \sin x \therefore IF \ ($समाकलन गुणांक$) = e^{\int P d x} \Rightarrow e^{2 \int1 d x} \Rightarrow IF = e^{2x}$
अतः $ y \cdot I F=\int Q \times I F d x+C \Rightarrow y \times e^{2 x}=\int{\sin x \cdot e^{2 x}} d x=I \ ($माना$) ...(i)$
$\therefore I=\sin x \int e^{2 x} d x -\int\left[\frac{d}{d x} \sin x \int e^{2 x} d x\right] d x \ ($खण्डशः समाकलन करने पर$)$
$\Rightarrow I=\sin x \frac{e^{2 x}}{2}-\frac{1}{2} \int \cos x e^{2 x} d x$
$\Rightarrow I=\sin x \frac{e^{2 x}}{2}-\frac{1}{2} \cos x \frac{e^{2 x}}{2} +\frac{1}{2} \int\left(\frac{d}{d x} \cos x \int e^{2 x} d x\right) d x$
$\Rightarrow I=\sin x \frac{e^{2 x}}{2}-\frac{1}{4} \cos x e^{2 x} +\frac{1}{4} \int(-\sin x) e^{2 x} d x$
$\Rightarrow I=\sin x \frac{e^{2 x}}{2}-\frac{1}{4} \cos x e^{2 x}+C -\frac{1}{4} I+C $
$\Rightarrow\frac{5 I}{4}=\frac{e^{2 x}}{4}(2 \sin x-\cos x)+C \Rightarrow I=\frac{e^{2 x}}{5}(2 \sin x-\cos x)+C$
अतः समी $(i)$ से,
$y \times e^{2x} =\frac{e^{2 x}}{5}(2 \sin x - \cos x) + C$
$\Rightarrow y=\frac{1}{5}(2 \sin x - \cos x) + e^{-2x} C$
अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ से तुलना करने पर,
अतः $ P = 2$ तथा $Q = \sin x \therefore IF \ ($समाकलन गुणांक$) = e^{\int P d x} \Rightarrow e^{2 \int1 d x} \Rightarrow IF = e^{2x}$
अतः $ y \cdot I F=\int Q \times I F d x+C \Rightarrow y \times e^{2 x}=\int{\sin x \cdot e^{2 x}} d x=I \ ($माना$) ...(i)$
$\therefore I=\sin x \int e^{2 x} d x -\int\left[\frac{d}{d x} \sin x \int e^{2 x} d x\right] d x \ ($खण्डशः समाकलन करने पर$)$
$\Rightarrow I=\sin x \frac{e^{2 x}}{2}-\frac{1}{2} \int \cos x e^{2 x} d x$
$\Rightarrow I=\sin x \frac{e^{2 x}}{2}-\frac{1}{2} \cos x \frac{e^{2 x}}{2} +\frac{1}{2} \int\left(\frac{d}{d x} \cos x \int e^{2 x} d x\right) d x$
$\Rightarrow I=\sin x \frac{e^{2 x}}{2}-\frac{1}{4} \cos x e^{2 x} +\frac{1}{4} \int(-\sin x) e^{2 x} d x$
$\Rightarrow I=\sin x \frac{e^{2 x}}{2}-\frac{1}{4} \cos x e^{2 x}+C -\frac{1}{4} I+C $
$\Rightarrow\frac{5 I}{4}=\frac{e^{2 x}}{4}(2 \sin x-\cos x)+C \Rightarrow I=\frac{e^{2 x}}{5}(2 \sin x-\cos x)+C$
अतः समी $(i)$ से,
$y \times e^{2x} =\frac{e^{2 x}}{5}(2 \sin x - \cos x) + C$
$\Rightarrow y=\frac{1}{5}(2 \sin x - \cos x) + e^{-2x} C$
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए:View Solution
$\left[x \sin ^{2}\left(\frac{y}{x}\right)-y\right] dx + x dy = 0, y = \frac{\pi}{4}$ जब $x = 1$ - 2दर्शाइए कि अवकल समीकरण $(x^2 - y^2)dx + 2xy\ dy = 0$ समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 3View Solutionकिसी गाँव की जनसंख्या की वृद्धि की दर किसी भी समय उस गाँव के निवासियों की संख्या के समानुपाती है। यदि सन् 1999 में गाँव की जनसंख्या 20,000 थी और सन् 2004 में 25,000 थी, तो ज्ञात कीजिए कि सन् 2009 मे गाँव की जनसंख्या क्या होगी?
- 4अवकल समीकरण $(x + y)\frac{d y}{d x} = 1$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 5दर्शाइए कि अवकल समीकरण $\left\{x \cos \left(\frac{y}{x}\right)+y \sin \left(\frac{y}{x}\right)\right\} y d x =\left\{y \sin \left(\frac{y}{x}\right)-x \cos \left(\frac{y}{x}\right)\right\} x d y$ समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 6दर्शाइए कि अवकल समीकरण xdy - ydx = $\sqrt{x^{2}+y^{2}} d x$ समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 7अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए: $2xy + y^2 - 2x^2 \frac{d y}{d x} = 0, y = 2$ जब $x = 1$View Solution
- 8अवकल समीकरण $x \frac{d y}{d x} + 2y = x^2 \log x$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 9$x-$अक्ष को मूल बिंदु पर स्पर्श करने वाले वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।View Solution
- 10अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} - y = \cos x$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।View Solution