अवकल समीकरण $xlog\ x \frac{d y}{d x} + y = \frac{2}{x} \log x$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
Exercise-9.6-7
Download our app for free and get started
दिया है,$ x \log x \frac{d y}{d x}+y=\frac{2}{x} \log x$
$x \log x$ से भाग करने पर $, \frac{d y}{d x}+\frac{y}{x \log x}=\frac{2}{x^{2}}$
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} + Py = Q$ से तुलना करने पर,
$P = \frac{1}{x \log x}$ तथा $Q=\frac{2}{x^{2}}$
$\therefore ($समाकलन गुणांक$) IF = \mathrm{e}^{\int P d x}=\mathrm{e}^{\int \frac{1 d x}{x \log x}}$
मान लीजिए $\log x = t \Rightarrow \frac{1}{x}=\frac{d t}{d x} \Rightarrow d x=x d t$
$\therefore IF = e^{\int_{t}^{1}-d t} = e^{\log |t|} = t = \log x (\because t = \log x)$
दिए गए अवकल समीकरण का हल
$y \cdot IF=\int Q\ IF d x+C$
$\Rightarrow y \cdot \log x=\int \frac{2}{x^{2}} \log x d x+C$
$\Rightarrow y\log x = 2\int {\left( {\mathop {\log x}\limits_{\text{I}} \cdot \mathop {\frac{1}{{{x^2}}}}\limits_{{\text{II}}} } \right)} dx + C$
$=2\left[\log x \int \frac{1}{x^{2}} d x-\int\left\{\frac{d}{d x}(\log x) \int \frac{1}{x^{2}} d x\right\} d x\right]+C ($खण्डशः समाकलन से$)$
$=2\left[\log x\left(-\frac{1}{x}\right)-\int\left\{\frac{1}{x} \cdot\left(-\frac{1}{x}\right)\right\} d x\right]+C$
$=2\left(-\frac{\log x}{x}+\int \frac{1}{x^{2}} d x\right)+C = 2\left(-\frac{\log x}{x}-\frac{1}{x}\right)+C$
$\Rightarrow y \log x=-\frac{2}{x}(1+\log x)+C$
$x \log x$ से भाग करने पर $, \frac{d y}{d x}+\frac{y}{x \log x}=\frac{2}{x^{2}}$
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} + Py = Q$ से तुलना करने पर,
$P = \frac{1}{x \log x}$ तथा $Q=\frac{2}{x^{2}}$
$\therefore ($समाकलन गुणांक$) IF = \mathrm{e}^{\int P d x}=\mathrm{e}^{\int \frac{1 d x}{x \log x}}$
मान लीजिए $\log x = t \Rightarrow \frac{1}{x}=\frac{d t}{d x} \Rightarrow d x=x d t$
$\therefore IF = e^{\int_{t}^{1}-d t} = e^{\log |t|} = t = \log x (\because t = \log x)$
दिए गए अवकल समीकरण का हल
$y \cdot IF=\int Q\ IF d x+C$
$\Rightarrow y \cdot \log x=\int \frac{2}{x^{2}} \log x d x+C$
$\Rightarrow y\log x = 2\int {\left( {\mathop {\log x}\limits_{\text{I}} \cdot \mathop {\frac{1}{{{x^2}}}}\limits_{{\text{II}}} } \right)} dx + C$
$=2\left[\log x \int \frac{1}{x^{2}} d x-\int\left\{\frac{d}{d x}(\log x) \int \frac{1}{x^{2}} d x\right\} d x\right]+C ($खण्डशः समाकलन से$)$
$=2\left[\log x\left(-\frac{1}{x}\right)-\int\left\{\frac{1}{x} \cdot\left(-\frac{1}{x}\right)\right\} d x\right]+C$
$=2\left(-\frac{\log x}{x}+\int \frac{1}{x^{2}} d x\right)+C = 2\left(-\frac{\log x}{x}-\frac{1}{x}\right)+C$
$\Rightarrow y \log x=-\frac{2}{x}(1+\log x)+C$
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए: $2xy + y^2 - 2x^2 \frac{d y}{d x} = 0, y = 2$ जब $x = 1$View Solution
- 2अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}+ y \cot x = 2x + x^2 \cot x(x \neq 0)$ का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है कि $y = 0$ यदि $x = \frac{\pi}{2}$View Solution
- 3View Solutionअवकल समीकरण (x - y)(dx + dy) = dx - dy का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है कि y = -1 यदि x = 0.
- 4दर्शाइए कि अवकल समीकरण $(x - y)dy - (x + y)dx = 0$ समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 5सिद्ध कीजिए कि $x^2 - y^2 = c(x^2 + y^2)^2$, जहाँ $c$ एक प्राचल है, अवकल समीकरण $(x^3 - 3xy^2)dx = (y^3 - 3x^2y)dy$ का व्यापक हल है।View Solution
- 6View Solutionकिसी गाँव की जनसंख्या की वृद्धि की दर किसी भी समय उस गाँव के निवासियों की संख्या के समानुपाती है। यदि सन् 1999 में गाँव की जनसंख्या 20,000 थी और सन् 2004 में 25,000 थी, तो ज्ञात कीजिए कि सन् 2009 मे गाँव की जनसंख्या क्या होगी?
- 7दर्शाइए कि अवकल समीकरण $(x^2 + xy)dy = (x^2 + y^2)dx$ समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 8दर्शाइए कि अवकल समीकरण y dx + x log $\left(\frac{y}{x}\right)$dy - 2x dy = 0 समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 9दर्शाइए कि अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}+\frac{y^{2}+y+1}{x^{2}+x+1}=0$ का व्यापक हल (x + y + 1) = A(1 - x - y - 2xy) है, जिसमें A एक प्राचल है।View Solution
- 10अवकल समीकरण $\cos ^{2} x \frac{d y}{d x}+y=\tan x\left(0 \leq x<\frac{\pi}{2}\right)$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।View Solution