दर्शाइए कि अवकल समीकरण $(x^2 + xy)dy = (x^2 + y^2)dx$ समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए।
Exercise-9.5-1
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दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+x y} ..(I)$
यहाँ अंश तथा हर दोनों $2$ घात के बहुपद हैं। अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
मान लीजिए $y = vx$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
अब, समी. $(i)$ में $y$ तथा $\frac{d y}{d x}$ का मान रखने पर,
$v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x^{2}+x^{2} v^{2}}{x^{2}+c x^{2}}$
$\Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x^{2}\left(1+v^{2}\right)}{x^{2}(1+v)}$
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{1+v^{2}}{1+v}-v$
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{1+v^{2}-v-v^{2}}{1+v}=\frac{1-v}{1+v}$
$\Rightarrow\frac{1+v}{1-v} d v=\frac{d x}{x}$
$\Rightarrow \frac{2-1+v}{1-v} d v=\frac{d x}{x}$
$\Rightarrow\left(\frac{2}{1-v}-\frac{1-v}{1-v}\right) d v=\frac{d x}{x}$
$ \Rightarrow\left(\frac{2}{1-v}-1\right) d v=\frac{d x}{x}$
समाकलन करने पर, $\int \frac{2}{1-v} d v-\int 1 d v=\int \frac{1}{x} d x$
$\Rightarrow -2log (1 - v) - v = \log x - \log C$
$\Rightarrow -v - 2 \log(1 - v) - \log x = -\log C$
$\Rightarrow v + 2 \log(1 - v) + \log x = \log C$
$v=\frac{y}{x}$ रखने पर,
$\Rightarrow\frac{y}{x}+2 \log \left(1-\frac{y}{x}\right) + \log x = \log C$
$\Rightarrow\frac{y}{x}+\log \left(\frac{x-y}{x}\right)^{2} + \log x = \log C$
$\Rightarrow\frac{y}{x} + \log (x - y)^2 - \log x^2 + \log x = \log C$
$\Rightarrow\frac{y}{x} + \log (x - y)^2 - 2 \log x + \log x = \log C$
$\Rightarrow\frac{y}{x} + \log (x - y)^2 - \log x = \log C$
$\Rightarrow\frac{y}{x}+\log \frac{(x-y)^{2}}{x}-\log C=0$
$\Rightarrow \log \left[\frac{(x-y)^{2}}{x} \cdot \frac{1}{C}\right]=-\frac{y}{x}$
$\Rightarrow (x - y)^2 = Cx e^{-\frac{y}{x}}$
जोकि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
यहाँ अंश तथा हर दोनों $2$ घात के बहुपद हैं। अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
मान लीजिए $y = vx$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
अब, समी. $(i)$ में $y$ तथा $\frac{d y}{d x}$ का मान रखने पर,
$v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x^{2}+x^{2} v^{2}}{x^{2}+c x^{2}}$
$\Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x^{2}\left(1+v^{2}\right)}{x^{2}(1+v)}$
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{1+v^{2}}{1+v}-v$
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{1+v^{2}-v-v^{2}}{1+v}=\frac{1-v}{1+v}$
$\Rightarrow\frac{1+v}{1-v} d v=\frac{d x}{x}$
$\Rightarrow \frac{2-1+v}{1-v} d v=\frac{d x}{x}$
$\Rightarrow\left(\frac{2}{1-v}-\frac{1-v}{1-v}\right) d v=\frac{d x}{x}$
$ \Rightarrow\left(\frac{2}{1-v}-1\right) d v=\frac{d x}{x}$
समाकलन करने पर, $\int \frac{2}{1-v} d v-\int 1 d v=\int \frac{1}{x} d x$
$\Rightarrow -2log (1 - v) - v = \log x - \log C$
$\Rightarrow -v - 2 \log(1 - v) - \log x = -\log C$
$\Rightarrow v + 2 \log(1 - v) + \log x = \log C$
$v=\frac{y}{x}$ रखने पर,
$\Rightarrow\frac{y}{x}+2 \log \left(1-\frac{y}{x}\right) + \log x = \log C$
$\Rightarrow\frac{y}{x}+\log \left(\frac{x-y}{x}\right)^{2} + \log x = \log C$
$\Rightarrow\frac{y}{x} + \log (x - y)^2 - \log x^2 + \log x = \log C$
$\Rightarrow\frac{y}{x} + \log (x - y)^2 - 2 \log x + \log x = \log C$
$\Rightarrow\frac{y}{x} + \log (x - y)^2 - \log x = \log C$
$\Rightarrow\frac{y}{x}+\log \frac{(x-y)^{2}}{x}-\log C=0$
$\Rightarrow \log \left[\frac{(x-y)^{2}}{x} \cdot \frac{1}{C}\right]=-\frac{y}{x}$
$\Rightarrow (x - y)^2 = Cx e^{-\frac{y}{x}}$
जोकि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
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