सिद्ध कीजिए कि $x^2 - y^2 = c(x^2 + y^2)^2$, जहाँ $c$ एक प्राचल है, अवकल समीकरण $(x^3 - 3xy^2)dx = (y^3 - 3x^2y)dy$ का व्यापक हल है।
Miscellaneous Exercise-4
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दिया गया अवकल समीकरण
$\frac{d y}{d x}=\frac{x^{3}-3 x y^{2}}{y^{3}-3 x^{2} y} ...(i)$
जोकि समघातीय अवकल समीकरण है अतः $y = vx$ रखने पर,
$\Rightarrow \frac{d}{d x}(y)=\frac{d}{d x}(v x) \Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
समी. $(i)$ से,
$v+x \frac{d v}{d x} =\frac{x^{3}-3 x(v x)^{2}}{(v x)^{3}-3 x^{2}(v x)} \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{1-3 v^{2}}{v^{3}-3 v}$
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x} =\frac{1-3 v^{2}}{v^{3}-3 v}-v$
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x} =\frac{1-3 v^{2}-v^{4}+3 v^{2}}{v^{3}-3 v} \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{1-v^{4}}{v^{3}-3 v}$
$\Rightarrow \left(\frac{v^{3}-3 v}{1-v^{4}}\right) d v =\frac{d x}{x}$
समाकलन करने पर,
$\int\left(\frac{v^{3}-3 v}{1-v^{4}}\right) d v=\int \frac{d x}{x} \Rightarrow \int\left(\frac{v^{3}-3 v}{1-v^{4}}\right) d v = \log x + \log C ...(ii)$
अब, $\int\left(\frac{v^{3}-3 v}{1-v^{4}}\right) d v =\int \frac{v^{3}}{1-v^{4}} d v-3 \int \frac{v}{1-v^{4}} d v$
$\Rightarrow\int\left(\frac{v^{3}-3 v}{1-v^{4}}\right) d v = l_1 - 3l_2 ....(iii)$
जहाँ $, I_{1}=\int \frac{v^{3}}{1-v^{4}} d v$ तथा $I_{2}=\int \frac{v}{1-v^{4}} d v$
मान लीजिए $1 - v^4 = t \Rightarrow -4v^3 = \frac{d t}{d v} \Rightarrow v^3dv = -\frac{d t}{4}$
$\therefore l_{1}=\int \frac{-d t}{4 t} =-\frac{1}{4} \log t=-\frac{1}{4} \log \left(1-v^{4}\right)$
तथा $I_{2}=\int \frac{v d v}{1-v^{4}}=\int \frac{v d v}{1-\left(v^{2}\right)^{2}}$
पुनः, मान लीजिए $v^2 = z \Rightarrow v d v=\frac{d z}{2}$
$\Rightarrow I_{2}=\frac{1}{2} \int \frac{d z}{1-z^{2}} =\frac{1}{2 \times 2} \log \left|\frac{1+z}{1-z}\right| =\frac{1}{4} \log \left|\frac{1+v^{2}}{1-v^{2}}\right| (\because z = v^2) \left(\because \int \frac{d x}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2 a} \log \left|\frac{a+x}{a-x}\right|\right)$
$l_1$ तथा $I_2$ का मान समी. $(iii)$ में रखने पर,
$\int\left(\frac{v^{3}-3 v}{1-v^{4}}\right) d v =-\frac{1}{4} \log \left(1-v^{4}\right)-\frac{3}{4} \log \left|\frac{1+v^{2}}{1-v^{2}}\right|$
अतः समी $(ii)$ से,
$-\frac{1}{4} \log \left(1-v^{4}\right)-\frac{3}{4} \log \left|\frac{1+v^{2}}{1-v^{2}}\right| = \log x + \log C$
$\Rightarrow -\frac{1}{4} \log \left[\left(1-v^{4}\right)\left(\frac{1+v^{2}}{1-v^{2}}\right)^{3}\right] = \log Cx$
$\Rightarrow -\frac{1}{4} \log \left[\left(1-v^{2}\right)\left(1+v^{2}\right) \times \frac{\left(1+v^{2}\right)^{3}}{\left(1-v^{2}\right)^{3}}\right] = \log Cx$
$\Rightarrow \log \left[\frac{\left(1+v^{2}\right)^{4}}{\left(1-v^{2}\right)^{2}}\right]^{-\frac{1}{4}} = \log Cx \Rightarrow\left[\frac{\left(1+v^{2}\right)^{4}}{\left(1-v^{2}\right)^{2}}\right]^{-\frac{1}{4}} = Cx$
$\Rightarrow \frac{\left(1+v^{2}\right)^{4}}{\left(1-v^{2}\right)^{2}} = (Cx)^{-4} \Rightarrow \frac{\left(1+\frac{y^{2}}{x^{2}}\right)^{4}}{\left(1-\frac{y^{2}}{x^{2}}\right)^{2}}=\frac{1}{C^{4} x^{4}}$
$\Rightarrow \frac{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{4}}{x^{4}\left(x^{2}-y^{2}\right)^{2}}=\frac{1}{C^{4} x^{4}} (\because v = \frac{y}{x})$
$\Rightarrow (x^2 - y^2) = C^2(x^2 + y^2)^2$
$\Rightarrow x^2 + y^2 = C(x^2 + y^2)^2$ जहाँ, $C = C^2($सही सिद्ध करना था$)$
$\frac{d y}{d x}=\frac{x^{3}-3 x y^{2}}{y^{3}-3 x^{2} y} ...(i)$
जोकि समघातीय अवकल समीकरण है अतः $y = vx$ रखने पर,
$\Rightarrow \frac{d}{d x}(y)=\frac{d}{d x}(v x) \Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
समी. $(i)$ से,
$v+x \frac{d v}{d x} =\frac{x^{3}-3 x(v x)^{2}}{(v x)^{3}-3 x^{2}(v x)} \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{1-3 v^{2}}{v^{3}-3 v}$
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x} =\frac{1-3 v^{2}}{v^{3}-3 v}-v$
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x} =\frac{1-3 v^{2}-v^{4}+3 v^{2}}{v^{3}-3 v} \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{1-v^{4}}{v^{3}-3 v}$
$\Rightarrow \left(\frac{v^{3}-3 v}{1-v^{4}}\right) d v =\frac{d x}{x}$
समाकलन करने पर,
$\int\left(\frac{v^{3}-3 v}{1-v^{4}}\right) d v=\int \frac{d x}{x} \Rightarrow \int\left(\frac{v^{3}-3 v}{1-v^{4}}\right) d v = \log x + \log C ...(ii)$
अब, $\int\left(\frac{v^{3}-3 v}{1-v^{4}}\right) d v =\int \frac{v^{3}}{1-v^{4}} d v-3 \int \frac{v}{1-v^{4}} d v$
$\Rightarrow\int\left(\frac{v^{3}-3 v}{1-v^{4}}\right) d v = l_1 - 3l_2 ....(iii)$
जहाँ $, I_{1}=\int \frac{v^{3}}{1-v^{4}} d v$ तथा $I_{2}=\int \frac{v}{1-v^{4}} d v$
मान लीजिए $1 - v^4 = t \Rightarrow -4v^3 = \frac{d t}{d v} \Rightarrow v^3dv = -\frac{d t}{4}$
$\therefore l_{1}=\int \frac{-d t}{4 t} =-\frac{1}{4} \log t=-\frac{1}{4} \log \left(1-v^{4}\right)$
तथा $I_{2}=\int \frac{v d v}{1-v^{4}}=\int \frac{v d v}{1-\left(v^{2}\right)^{2}}$
पुनः, मान लीजिए $v^2 = z \Rightarrow v d v=\frac{d z}{2}$
$\Rightarrow I_{2}=\frac{1}{2} \int \frac{d z}{1-z^{2}} =\frac{1}{2 \times 2} \log \left|\frac{1+z}{1-z}\right| =\frac{1}{4} \log \left|\frac{1+v^{2}}{1-v^{2}}\right| (\because z = v^2) \left(\because \int \frac{d x}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2 a} \log \left|\frac{a+x}{a-x}\right|\right)$
$l_1$ तथा $I_2$ का मान समी. $(iii)$ में रखने पर,
$\int\left(\frac{v^{3}-3 v}{1-v^{4}}\right) d v =-\frac{1}{4} \log \left(1-v^{4}\right)-\frac{3}{4} \log \left|\frac{1+v^{2}}{1-v^{2}}\right|$
अतः समी $(ii)$ से,
$-\frac{1}{4} \log \left(1-v^{4}\right)-\frac{3}{4} \log \left|\frac{1+v^{2}}{1-v^{2}}\right| = \log x + \log C$
$\Rightarrow -\frac{1}{4} \log \left[\left(1-v^{4}\right)\left(\frac{1+v^{2}}{1-v^{2}}\right)^{3}\right] = \log Cx$
$\Rightarrow -\frac{1}{4} \log \left[\left(1-v^{2}\right)\left(1+v^{2}\right) \times \frac{\left(1+v^{2}\right)^{3}}{\left(1-v^{2}\right)^{3}}\right] = \log Cx$
$\Rightarrow \log \left[\frac{\left(1+v^{2}\right)^{4}}{\left(1-v^{2}\right)^{2}}\right]^{-\frac{1}{4}} = \log Cx \Rightarrow\left[\frac{\left(1+v^{2}\right)^{4}}{\left(1-v^{2}\right)^{2}}\right]^{-\frac{1}{4}} = Cx$
$\Rightarrow \frac{\left(1+v^{2}\right)^{4}}{\left(1-v^{2}\right)^{2}} = (Cx)^{-4} \Rightarrow \frac{\left(1+\frac{y^{2}}{x^{2}}\right)^{4}}{\left(1-\frac{y^{2}}{x^{2}}\right)^{2}}=\frac{1}{C^{4} x^{4}}$
$\Rightarrow \frac{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{4}}{x^{4}\left(x^{2}-y^{2}\right)^{2}}=\frac{1}{C^{4} x^{4}} (\because v = \frac{y}{x})$
$\Rightarrow (x^2 - y^2) = C^2(x^2 + y^2)^2$
$\Rightarrow x^2 + y^2 = C(x^2 + y^2)^2$ जहाँ, $C = C^2($सही सिद्ध करना था$)$
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