अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए: $2xy + y^2 - 2x^2 \frac{d y}{d x} = 0, y = 2$ जब $x = 1$
Exercise-9.5-15
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दिया है, $2 x^{2} \frac{d y}{d x} = 2xy + y^2$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{2 x y+y^{2}}{2 x^{2}} ...(i)$
अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः $\frac{y}{x}=v$ रखने पर,
$y = vx$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
समी $(i)$ से, $v+x \frac{d v}{d x}=\frac{2 x^{2} v+x^{2} v^{2}}{2 x^{2}} $
$\Rightarrow v+x \frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}\left(2 v+v^{2}\right)}{2 x^{2}} $
$\Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=v+\frac{1}{2} v^{2}$
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{1}{2} v^{2}$
$\Rightarrow\frac{2}{v^{2}} d v=\frac{1}{x} d x$
समाकलन करने पर,
$2 \int v^{-2} d v =\int \frac{d x}{x}$
$\Rightarrow 2\left(\frac{v^{-2+1}}{-2+1}\right) = \log |x| + C$
$\Rightarrow 2\left(\frac{v^{-1}}{-1}\right) = \log |x| + C $
$\Rightarrow-\frac{2}{v} = \log |x| + C$
$\Rightarrow-\frac{2 x}{y} = \log |x| + C \left(\because v=\frac{y}{x}\right) ...(ii)$
जब $x = 1,$ तो $y = 2,$ अतः $\frac{-2 \times 1}{2} = \log 1 + C$
$\Rightarrow -1 = 0 + C$
$C$ का मान समी. $(ii)$ में रखने पर,
$-\frac{2 x}{y} = \log |x| - 1$
$\Rightarrow y=\frac{2 x}{1-\log |x|} $
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{2 x y+y^{2}}{2 x^{2}} ...(i)$
अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः $\frac{y}{x}=v$ रखने पर,
$y = vx$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
समी $(i)$ से, $v+x \frac{d v}{d x}=\frac{2 x^{2} v+x^{2} v^{2}}{2 x^{2}} $
$\Rightarrow v+x \frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}\left(2 v+v^{2}\right)}{2 x^{2}} $
$\Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=v+\frac{1}{2} v^{2}$
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{1}{2} v^{2}$
$\Rightarrow\frac{2}{v^{2}} d v=\frac{1}{x} d x$
समाकलन करने पर,
$2 \int v^{-2} d v =\int \frac{d x}{x}$
$\Rightarrow 2\left(\frac{v^{-2+1}}{-2+1}\right) = \log |x| + C$
$\Rightarrow 2\left(\frac{v^{-1}}{-1}\right) = \log |x| + C $
$\Rightarrow-\frac{2}{v} = \log |x| + C$
$\Rightarrow-\frac{2 x}{y} = \log |x| + C \left(\because v=\frac{y}{x}\right) ...(ii)$
जब $x = 1,$ तो $y = 2,$ अतः $\frac{-2 \times 1}{2} = \log 1 + C$
$\Rightarrow -1 = 0 + C$
$C$ का मान समी. $(ii)$ में रखने पर,
$-\frac{2 x}{y} = \log |x| - 1$
$\Rightarrow y=\frac{2 x}{1-\log |x|} $
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