अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}+ y \cot x = 2x + x^2 \cot x(x \neq 0)$ का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है कि $y = 0$ यदि $x = \frac{\pi}{2}$
example-22
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दिया हुआ अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} + Py = Q,$ के रूप का रैखिक अवकल समीकरण है। यहाँ $P = \cot x$ और $Q = 2x + x^2 \cot x$ है। इसलिए
$I.F. =e^{\int \cot x d x} = e^{\log \sin x} = \sin x$
अतः अवकल समीकरण का हल है:
$y \cdot \sin x = \int\left(2 x+x^{2} \cot x\right) \sin x dx + C$
अथवा $y \sin x = \int 2 x \sin x d x+\int x^{2} \cos x d x+\mathrm{C}$
अथवा $y \sin x = \sin x\left(\frac{2 x^{2}}{2}\right)-\int \cos x\left(\frac{2 x^{2}}{2}\right) d x +\int x^{2} \cos x d x+\mathrm{C}$
अथवा $y \sin x = x^2 \sin x - \int x^{2} \cos x d x+\int x^{2} \cos x d x+\mathrm{C}$
अथवा $y \sin x = x^2 \sin x + C ...(i)$
समीकरण $(i)$ में $y = 0$ एवं $x = \frac{\pi}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$0=\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2} \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)+C$
अथवा $C=\frac{-\pi^{2}}{4}$
समीकरण $(i)$ में $C$ का मान प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$y \sin x = x^2 \sin x - \frac{\pi^{2}}{4}$
अथवा $y = x^2 - \frac{\pi^{2}}{4 \sin x}(\sin x \neq 0)$
यह दिए हुए अवकल समीकरण का विशिष्ट हल है।
$I.F. =e^{\int \cot x d x} = e^{\log \sin x} = \sin x$
अतः अवकल समीकरण का हल है:
$y \cdot \sin x = \int\left(2 x+x^{2} \cot x\right) \sin x dx + C$
अथवा $y \sin x = \int 2 x \sin x d x+\int x^{2} \cos x d x+\mathrm{C}$
अथवा $y \sin x = \sin x\left(\frac{2 x^{2}}{2}\right)-\int \cos x\left(\frac{2 x^{2}}{2}\right) d x +\int x^{2} \cos x d x+\mathrm{C}$
अथवा $y \sin x = x^2 \sin x - \int x^{2} \cos x d x+\int x^{2} \cos x d x+\mathrm{C}$
अथवा $y \sin x = x^2 \sin x + C ...(i)$
समीकरण $(i)$ में $y = 0$ एवं $x = \frac{\pi}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$0=\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2} \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)+C$
अथवा $C=\frac{-\pi^{2}}{4}$
समीकरण $(i)$ में $C$ का मान प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$y \sin x = x^2 \sin x - \frac{\pi^{2}}{4}$
अथवा $y = x^2 - \frac{\pi^{2}}{4 \sin x}(\sin x \neq 0)$
यह दिए हुए अवकल समीकरण का विशिष्ट हल है।
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