बिन्दु $(0, 1)$ से गुजरने वाले एक वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए, यदि इस वक्र के किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता, उस बिंदु के $x$ निर्देशांक $($भुज$)$ तथा $x$ निर्देशांक और $y$ निर्देशांक $($कोटि$)$ के गुणनफल के योग के बराबर है।
example-23
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हम जानते हैं कि वक्र की स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{d y}{d x}$ के बराबर होती है। इसलिए
$\frac{d y}{d x} = x + xy$
अथवा $\frac{d y}{d x} - xy = x ...(i)$
समीकरण $(i), \frac{d y}{d x} + Py = Q$ के रूप का रैखिक अवकल समीकरण है $।$ यहाँ $P = -x$ एवं $Q = x$ है। इसलिए
$I.F. = e^{\int-x d x}=e^{\frac{-x^{2}}{2}}$
अतः दिए हुए समीकरण का हल है:
$y \cdot e^{\frac{-x^{2}}{2}}=\int(x)\left(e^{\frac{-x^{2}}{2}}\right) d x+\mathrm{C} ...(ii)$
मान लीजिए $\mathrm{I}=\int(x) e^{\frac{-x^{2}}{2}} d x$
मान लीजिए $\frac{-x^{2}}{2}=t,$ तब -$x dx = dt $ या $x dx = -dt$
इसलिए $I = -\int e^{t} d t=-e^{t}=-e^{\frac{-x^{2}}{2}}$
समीकरण $(ii)$ में $I$ का मान प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:
$y e^{\frac{-x^{2}}{2}}=-e^{\frac{-x^{2}}{2}}+\mathrm{C}$
अथवा $y=-1+\mathrm{C} e^{\frac{x^{2}}{2}} ...(iii)$
समीकरण $(iii)$ वक्रों के कुल का समीकरण है परंतु हम इस कुल के ऐसे सदस्य का समीकरण ज्ञात करना चाहते हैं जो बिंदु $(0, 1)$ से गुजरता हो $।$ समीकरण $(iii)$ में $x = 0$ एवं $y = 1$ प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं:
$1 = -1 + C \cdot e^0$ अथवा $C = 2$
समीकरण $(iii)$ में $C$ का मान प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$y=-1+2 e^{\frac{x^{2}}{2}}$
यह वक्र का अभीष्ट समीकरण है।
$\frac{d y}{d x} = x + xy$
अथवा $\frac{d y}{d x} - xy = x ...(i)$
समीकरण $(i), \frac{d y}{d x} + Py = Q$ के रूप का रैखिक अवकल समीकरण है $।$ यहाँ $P = -x$ एवं $Q = x$ है। इसलिए
$I.F. = e^{\int-x d x}=e^{\frac{-x^{2}}{2}}$
अतः दिए हुए समीकरण का हल है:
$y \cdot e^{\frac{-x^{2}}{2}}=\int(x)\left(e^{\frac{-x^{2}}{2}}\right) d x+\mathrm{C} ...(ii)$
मान लीजिए $\mathrm{I}=\int(x) e^{\frac{-x^{2}}{2}} d x$
मान लीजिए $\frac{-x^{2}}{2}=t,$ तब -$x dx = dt $ या $x dx = -dt$
इसलिए $I = -\int e^{t} d t=-e^{t}=-e^{\frac{-x^{2}}{2}}$
समीकरण $(ii)$ में $I$ का मान प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:
$y e^{\frac{-x^{2}}{2}}=-e^{\frac{-x^{2}}{2}}+\mathrm{C}$
अथवा $y=-1+\mathrm{C} e^{\frac{x^{2}}{2}} ...(iii)$
समीकरण $(iii)$ वक्रों के कुल का समीकरण है परंतु हम इस कुल के ऐसे सदस्य का समीकरण ज्ञात करना चाहते हैं जो बिंदु $(0, 1)$ से गुजरता हो $।$ समीकरण $(iii)$ में $x = 0$ एवं $y = 1$ प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं:
$1 = -1 + C \cdot e^0$ अथवा $C = 2$
समीकरण $(iii)$ में $C$ का मान प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$y=-1+2 e^{\frac{x^{2}}{2}}$
यह वक्र का अभीष्ट समीकरण है।
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