दर्शाइए कि अवकल समीकरण $\left(1+e^{\frac{x}{y}}\right) d x+e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right) d y = 0$ समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए।
Exercise-9.5-10
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दिया है, $\left(1+e^{\frac{x}{y}}\right) d x=e^{\frac{x}{y}}\left(\frac{x}{y}-1\right) d y $
$\Rightarrow \frac{d x}{d y}=\frac{e^{\frac x y}\left(\frac{x}{y}-1\right)}{e^{\frac x y}+1} ...(i)$
अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः $\frac{x}{y}=v$ अर्थात् $x = vy$ रखने पर,
$\Rightarrow\frac{d x}{d y}=v+y \frac{d v}{d y}$
समी. $(i)$ से, $v+y \frac{d v}{d y}=\frac{e^{v}(v-1)}{e^{v}+1} $
$\Rightarrow y \frac{d v}{d y}=\frac{e^{v}(v-1)}{e^{v}+1}-v$
$\Rightarrow y \frac{d v}{d y}=\frac{v e^{v}-e^{v}-v e^{v}-v}{e^{v}+1}$
$\Rightarrow y \frac{d v}{d y}=\frac{v e^{v}-e^{v}}{e^{v}}$
$\Rightarrow\frac{e^{v}+1}{e^{v}+v} d v=-\frac{1}{y} d y$
समाकलन करने पर, $\int \frac{e^{v}+1}{e^{v}+v} d v=-\int \frac{1}{y} d y$
अब, $e^v + v = t$ रखने पर,
$\Rightarrow e^{v}+1=\frac{d t}{d v} $
$\Rightarrow d v=\frac{d t}{e^{v}+1}$
$\therefore\int \frac{e^{v}+1}{t} \frac{d t}{e^{v}+1} = -\log |y| + \log C$
$\Rightarrow \log |t| + \log |y| = \log C$
$\Rightarrow \log |e^v + v| + \log |y| = \log C $
$(\because t = e^v + v)$
$\Rightarrow \log |(e^v + v)y| = \log C $
$\Rightarrow |(e^v + v)y| = C $
$\Rightarrow (e^v + v)y = C$
जो दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
$\Rightarrow \frac{d x}{d y}=\frac{e^{\frac x y}\left(\frac{x}{y}-1\right)}{e^{\frac x y}+1} ...(i)$
अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः $\frac{x}{y}=v$ अर्थात् $x = vy$ रखने पर,
$\Rightarrow\frac{d x}{d y}=v+y \frac{d v}{d y}$
समी. $(i)$ से, $v+y \frac{d v}{d y}=\frac{e^{v}(v-1)}{e^{v}+1} $
$\Rightarrow y \frac{d v}{d y}=\frac{e^{v}(v-1)}{e^{v}+1}-v$
$\Rightarrow y \frac{d v}{d y}=\frac{v e^{v}-e^{v}-v e^{v}-v}{e^{v}+1}$
$\Rightarrow y \frac{d v}{d y}=\frac{v e^{v}-e^{v}}{e^{v}}$
$\Rightarrow\frac{e^{v}+1}{e^{v}+v} d v=-\frac{1}{y} d y$
समाकलन करने पर, $\int \frac{e^{v}+1}{e^{v}+v} d v=-\int \frac{1}{y} d y$
अब, $e^v + v = t$ रखने पर,
$\Rightarrow e^{v}+1=\frac{d t}{d v} $
$\Rightarrow d v=\frac{d t}{e^{v}+1}$
$\therefore\int \frac{e^{v}+1}{t} \frac{d t}{e^{v}+1} = -\log |y| + \log C$
$\Rightarrow \log |t| + \log |y| = \log C$
$\Rightarrow \log |e^v + v| + \log |y| = \log C $
$(\because t = e^v + v)$
$\Rightarrow \log |(e^v + v)y| = \log C $
$\Rightarrow |(e^v + v)y| = C $
$\Rightarrow (e^v + v)y = C$
जो दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
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