ऐसे दीर्घवृत्तों के कुल को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी नाभियाँ x-अक्ष पर हैं तथा जिनका केंद्र मूल बिंदु है।
example-6
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हम जानते हैं कि कथित दीर्घवृत्तों के कुल का समीकरण निम्नलिखत प्रकार का होता है (आकृति देखिए)
$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ...(i)
समीकरण (i) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर हमें $\frac{2 x}{a^{2}}+\frac{2 y}{b^{2}} \frac{d y}{d x}=0$ प्राप्त होता है।
अथवा $\frac{y}{x}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{-b^{2}}{a^{2}}$ ...(ii)
समीकरण (ii) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर हमें प्राप्त होता है:
$\left(\frac{y}{x}\right)\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)+\left(\frac{x \frac{d y}{d x}-y}{x^{2}}\right) \frac{d y}{d x}=0$
अथवा $x y \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}-y \frac{d y}{d x}=0$ ...(iii)
समीकरण (iii) अभीष्ट अवकल समीकरण है।
$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ...(i)
समीकरण (i) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर हमें $\frac{2 x}{a^{2}}+\frac{2 y}{b^{2}} \frac{d y}{d x}=0$ प्राप्त होता है।
अथवा $\frac{y}{x}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{-b^{2}}{a^{2}}$ ...(ii)
समीकरण (ii) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर हमें प्राप्त होता है:
$\left(\frac{y}{x}\right)\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)+\left(\frac{x \frac{d y}{d x}-y}{x^{2}}\right) \frac{d y}{d x}=0$
अथवा $x y \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}-y \frac{d y}{d x}=0$ ...(iii)
समीकरण (iii) अभीष्ट अवकल समीकरण है।
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