अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए:
$\frac{d y}{d x} + 2y \tan x = \sin x, y = 0$ जब $x = \frac{\pi}{3}$
$\frac{d y}{d x} + 2y \tan x = \sin x, y = 0$ जब $x = \frac{\pi}{3}$
Exercise-9.6-13
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दिया है,
$\frac{d y}{d x} + 2y \tan x = \sin x,$
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} + Py = Q$ से तुलना करने पर,
$P = 2 \tan x, Q = \sin x$
$\therefore ($समाकलन गुणांक$) IF = e^{2 \int \tan x d x} = e^{2 \log |sec x|} \Rightarrow IF = sec^2x ...(i)$
दिए गए अवकल समीकरण का हल
$y \cdot I F=\int Q \times I F d x+C$
$\Rightarrow y \sec ^{2} x=\int\left(\sin x \cdot \sec ^{2} x\right) d x+C$
$\Rightarrow y \sec ^{2} x=\int \sin x \cdot \frac{1}{\cos ^{2} x} d x+C$
$\Rightarrow y \sec ^{2} x=\int \tan x \sec x d x+C \Rightarrow y \sec^2x = \sec \ x + C ...(ii)$
समी. $(ii)$ में $y = 0$ तथा $x = \frac{\pi}{3}$ रखने पर,
$0 \times \sec ^{2} \frac{\pi}{3}=\sec \frac{\pi}{3}+C \Rightarrow 0 = 2 + C \Rightarrow C = -2$
$C$ का मान समी. $(ii)$ में रखने पर,
$y \sec^2x = sec x - 2 \Rightarrow y = \cos x - 2 \cos^2x$
अतः 'दिए गए अवकल समीकरण का हल
$y = \cos x - 2 \cos^2x$
$\frac{d y}{d x} + 2y \tan x = \sin x,$
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} + Py = Q$ से तुलना करने पर,
$P = 2 \tan x, Q = \sin x$
$\therefore ($समाकलन गुणांक$) IF = e^{2 \int \tan x d x} = e^{2 \log |sec x|} \Rightarrow IF = sec^2x ...(i)$
दिए गए अवकल समीकरण का हल
$y \cdot I F=\int Q \times I F d x+C$
$\Rightarrow y \sec ^{2} x=\int\left(\sin x \cdot \sec ^{2} x\right) d x+C$
$\Rightarrow y \sec ^{2} x=\int \sin x \cdot \frac{1}{\cos ^{2} x} d x+C$
$\Rightarrow y \sec ^{2} x=\int \tan x \sec x d x+C \Rightarrow y \sec^2x = \sec \ x + C ...(ii)$
समी. $(ii)$ में $y = 0$ तथा $x = \frac{\pi}{3}$ रखने पर,
$0 \times \sec ^{2} \frac{\pi}{3}=\sec \frac{\pi}{3}+C \Rightarrow 0 = 2 + C \Rightarrow C = -2$
$C$ का मान समी. $(ii)$ में रखने पर,
$y \sec^2x = sec x - 2 \Rightarrow y = \cos x - 2 \cos^2x$
अतः 'दिए गए अवकल समीकरण का हल
$y = \cos x - 2 \cos^2x$
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