बिंदु $(0, 0)$ से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण $y' = e^xsin x$ है।
Exercise-9.4-15
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दिए वक्र का अवकल समीकरण,
$y' = e^x \sin x$ या $\frac{d y}{d x} = e^x \sin\ x$
चरों का पृथक्करण करने पर $, dy = e^x \sin \ x \ dx$
समाकलन करने पर $, \int d y=\int e^{x} \sin\ x \ dx ...(i)$
माना $I=\int\underset{II}{e^x}\underset I{\sin\ x}\ dx ...(ii)$
$\Rightarrow I=\sin x \int e^{x} \ d x -\int\left[\frac{d}{d x}(\sin x) \int e^{x} d x\right] d x \ ($खण्डशः समाकलन करने पर$)$
$=\sin x\int e^xdx-\int\underset I{\cos x}\cdot\underset{II}{e^x}dx$
$\Rightarrow = \sin x \cdot e^x - \left[\cos x \cdot \int e^{x} d x-\int\left(\frac{d}{d x}(\cos x) \cdot \int e^{x} d x\right) d x\right] ($पुनः खण्डशः समाकलन करने पर$)$
$\Rightarrow I = \sin x \cdot e^x - [\cos x \cdot e^x - \left.\int(-\sin x) \cdot e^{x} d x\right]$
$= \sin x \cdot e^x - e^x \cdot \cos\ x - \int e^{x} \cdot \sin x \cdot d x$
$\Rightarrow I = \sin x \cdot e^x - \cos x \cdot e^x - I [$समी $(ii)$ से$]$
$\Rightarrow 2I = e^x(\sin x - \cos \ x) $
$\Rightarrow I=\frac{e^{x}(\sin \ x-\cos \ x)}{2}$
यह मान समी $(i)$ में रखने पर,$ y=\frac{e^{x}(\sin x-\cos x)}{2}+C ...(iii)$
चूँकि वक्र बिंदु $(0, 0$) से होकर जाता है। अतः $x = 0, y = 0$ रखने पर,
$\therefore 0=\frac{e^{0}(\sin 0-\cos 0)}{2}+C [$ समी. $(iii)$ से$]$
$\Rightarrow 0=\frac{1(0-1)}{2}+C$
$\Rightarrow C=\frac{1}{2}$
समी $(iii)$ में $C=\frac{1}{2}$ रखने पर,
$y=\frac{e^{x}(\sin x-\cos x)}{2}+\frac{1}{2} $
$\Rightarrow 2y = e^x(\sin x - \cos x) +1$
$\Rightarrow 2y - 1 = e^x(\sin x - \cos x)$
जोकि अभीष्ट वक्र का समीकरण है।
$y' = e^x \sin x$ या $\frac{d y}{d x} = e^x \sin\ x$
चरों का पृथक्करण करने पर $, dy = e^x \sin \ x \ dx$
समाकलन करने पर $, \int d y=\int e^{x} \sin\ x \ dx ...(i)$
माना $I=\int\underset{II}{e^x}\underset I{\sin\ x}\ dx ...(ii)$
$\Rightarrow I=\sin x \int e^{x} \ d x -\int\left[\frac{d}{d x}(\sin x) \int e^{x} d x\right] d x \ ($खण्डशः समाकलन करने पर$)$
$=\sin x\int e^xdx-\int\underset I{\cos x}\cdot\underset{II}{e^x}dx$
$\Rightarrow = \sin x \cdot e^x - \left[\cos x \cdot \int e^{x} d x-\int\left(\frac{d}{d x}(\cos x) \cdot \int e^{x} d x\right) d x\right] ($पुनः खण्डशः समाकलन करने पर$)$
$\Rightarrow I = \sin x \cdot e^x - [\cos x \cdot e^x - \left.\int(-\sin x) \cdot e^{x} d x\right]$
$= \sin x \cdot e^x - e^x \cdot \cos\ x - \int e^{x} \cdot \sin x \cdot d x$
$\Rightarrow I = \sin x \cdot e^x - \cos x \cdot e^x - I [$समी $(ii)$ से$]$
$\Rightarrow 2I = e^x(\sin x - \cos \ x) $
$\Rightarrow I=\frac{e^{x}(\sin \ x-\cos \ x)}{2}$
यह मान समी $(i)$ में रखने पर,$ y=\frac{e^{x}(\sin x-\cos x)}{2}+C ...(iii)$
चूँकि वक्र बिंदु $(0, 0$) से होकर जाता है। अतः $x = 0, y = 0$ रखने पर,
$\therefore 0=\frac{e^{0}(\sin 0-\cos 0)}{2}+C [$ समी. $(iii)$ से$]$
$\Rightarrow 0=\frac{1(0-1)}{2}+C$
$\Rightarrow C=\frac{1}{2}$
समी $(iii)$ में $C=\frac{1}{2}$ रखने पर,
$y=\frac{e^{x}(\sin x-\cos x)}{2}+\frac{1}{2} $
$\Rightarrow 2y = e^x(\sin x - \cos x) +1$
$\Rightarrow 2y - 1 = e^x(\sin x - \cos x)$
जोकि अभीष्ट वक्र का समीकरण है।
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