बिंदु (1, 2, -4) से जाने वाली और दोनों रेखाओं $\frac{x-8}{3}=\frac{y+19}{-16}=\frac{z-10}{7}$ और $\frac{x-15}{3}=\frac{y-29}{8}=\frac{z-5}{-5}$ पर लंब रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
Miscellaneous Exercise-20
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बिंदु (1, 2, -4) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण निम्न है,
$\frac{x-1}{a}=\frac{y-2}{b}=\frac{z+4}{c}$ ...(i)
जहाँ, a, b व c रेखा (i) के दिक् अनुपात हैं।
दी गई रेखाएँ निम्न हैं,
$\frac{x-8}{3}=\frac{y+19}{-16}=\frac{z-10}{7}$ तथा $\frac{x-15}{3}=\frac{y-29}{8}=\frac{z-5}{-5}$
उपरोक्त रेखाओं के दिक् अनुपात क्रमशः (3, -16, 7) तथा (3, 8, -5) हैं तथा ये रेखा (i) के लंबवत् हैं।
$\therefore$ 3a - 16b + 7c = 0 ...(ii)
तथा 3a + 8b - 5c = 0 ...(iii)
वज्र गुणन विधि से, $\frac{a}{80-56}=\frac{b}{21+15}=\frac{c}{24+48}$
$\Rightarrow\frac{a}{24}=\frac{b}{36}=\frac{c}{72} $ $\Rightarrow \frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{6}=\lambda$ (माना)
$\therefore$ a = 2$\lambda$, b = 3$\lambda$ तथा c = 6$\lambda$
अतः बिंदु (1, 2, -4) से होकर जाने वाली तथा सदिश $2 \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+6 \hat{{k}}$ के समांतर रेखा का समीकरण निम्न है, $\vec{r}=(\hat{{i}}+2 \hat{{j}}-4 \hat{{k}})$$+\lambda(2 \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+6 \hat{{k}})$
$\frac{x-1}{a}=\frac{y-2}{b}=\frac{z+4}{c}$ ...(i)
जहाँ, a, b व c रेखा (i) के दिक् अनुपात हैं।
दी गई रेखाएँ निम्न हैं,
$\frac{x-8}{3}=\frac{y+19}{-16}=\frac{z-10}{7}$ तथा $\frac{x-15}{3}=\frac{y-29}{8}=\frac{z-5}{-5}$
उपरोक्त रेखाओं के दिक् अनुपात क्रमशः (3, -16, 7) तथा (3, 8, -5) हैं तथा ये रेखा (i) के लंबवत् हैं।
$\therefore$ 3a - 16b + 7c = 0 ...(ii)
तथा 3a + 8b - 5c = 0 ...(iii)
वज्र गुणन विधि से, $\frac{a}{80-56}=\frac{b}{21+15}=\frac{c}{24+48}$
$\Rightarrow\frac{a}{24}=\frac{b}{36}=\frac{c}{72} $ $\Rightarrow \frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{6}=\lambda$ (माना)
$\therefore$ a = 2$\lambda$, b = 3$\lambda$ तथा c = 6$\lambda$
अतः बिंदु (1, 2, -4) से होकर जाने वाली तथा सदिश $2 \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+6 \hat{{k}}$ के समांतर रेखा का समीकरण निम्न है, $\vec{r}=(\hat{{i}}+2 \hat{{j}}-4 \hat{{k}})$$+\lambda(2 \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+6 \hat{{k}})$
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