उन रेखाओं के मध्य कोण ज्ञात कीजिए, जिनके दिक् $-$ अनुपात $a, b, c$ और $b - c, c - a, a - b$ हैं।
Miscellaneous Exercise-3
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दी गई रेखाओं के दिक् अनुपात $(a, b, c)$ तथा $(b - c, c - a, a - b)$ हैं।
माना दोनों रेखाओं के बीच का न्यून कोण $\theta$ है, तब
$\cos \theta = \left|\frac{a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \sqrt{(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+(a-b)^{2}}}\right|$
$\left[\because \cos \theta=\left|\frac{a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}+c_{1} c_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}} \sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}\right|\right]$
$=\left|\frac{a b-a c+b c-a b+c a-b c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \sqrt{(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+(a-b)^{2}}}\right| = 0$
$\Rightarrow \cos \theta = 0$
$\Rightarrow \theta=\frac{\pi}{2} = 90^\circ$
अतः दोनों रेखाओं के बीच का कोण $90^\circ$ है।
माना दोनों रेखाओं के बीच का न्यून कोण $\theta$ है, तब
$\cos \theta = \left|\frac{a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \sqrt{(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+(a-b)^{2}}}\right|$
$\left[\because \cos \theta=\left|\frac{a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}+c_{1} c_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}} \sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}\right|\right]$
$=\left|\frac{a b-a c+b c-a b+c a-b c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \sqrt{(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+(a-b)^{2}}}\right| = 0$
$\Rightarrow \cos \theta = 0$
$\Rightarrow \theta=\frac{\pi}{2} = 90^\circ$
अतः दोनों रेखाओं के बीच का कोण $90^\circ$ है।
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