रेखाओं $\vec{r}=(\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})+\lambda(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$ और $\vec{r}=2 \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}+\mu(2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k})$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए:
Exercise-11.2-14
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दी गई समीकरणें निम्न हैं, $\vec{r}=\hat{{i}}+2 \hat{{j}}+\hat{{k}}+\lambda(\hat{{i}}-\hat{{j}}+\hat{{k}})$ तथा $\vec{r}=2 \hat{{i}}-\hat{{j}}-\hat{{k}}+\mu(2 \hat{{i}}+\hat{{j}}+2 \hat{{k}})$
जोकि समीकरण $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{b_1}$ तथा $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{b_2}$ के रूप के हैं।
$\vec{a}_{1}=\hat{{i}}+2 \hat{{j}}+\hat{{k}}, \vec{b}_{1}=\hat{{i}}-\hat{{j}}+\hat{{k}}$
तथा $\vec{a}_{2}=2 \hat{{i}}-\hat{{j}}-\hat{{k}}, \vec{b}_{2}=2 \hat{{i}}+\hat{{j}}+2 \hat{{k}}$
अब, $\vec{a_2} - \vec{a_1}$ = $(2 \hat{{i}}-\hat{{j}}-\hat{{k}})-(\hat{{i}}+2 \hat{{j}}+\hat{{k}})=\hat{{i}}-3 \hat{{j}}-2 \hat{{k}} $
तथा $\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{\mathbf{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{array}\right|$ = $\hat{i}$ (-2 - 1) - $\hat{j}$ (2 - 2) + $\hat{k}$ (1 + 2) = -3$\hat{i}$ + 3$\hat{k}$
$\Rightarrow \left|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right|=\sqrt{(-3)^{2}+(3)^{2}}$$=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}$
न्यूनतम दूरी = $\left|\frac{\left(\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right) \cdot\left(\vec{a}_{2}-\vec{a}_{1}\right)}{\left|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right|}\right|=\frac{|(-3) \times 1+0 \times(-3)+3 \times(-2)|}{3 \sqrt{2}}$
$=\frac{|(-3 \hat{{i}}+3 \hat{{k}}) \cdot(\hat{{i}}-3 \hat{{j}}-2 \hat{{k}})|}{3 \sqrt{2}}=\frac{9}{\sqrt{2}}$ $=\frac{3 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ इकाई
अतः दी गई दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$
जोकि समीकरण $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{b_1}$ तथा $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{b_2}$ के रूप के हैं।
$\vec{a}_{1}=\hat{{i}}+2 \hat{{j}}+\hat{{k}}, \vec{b}_{1}=\hat{{i}}-\hat{{j}}+\hat{{k}}$
तथा $\vec{a}_{2}=2 \hat{{i}}-\hat{{j}}-\hat{{k}}, \vec{b}_{2}=2 \hat{{i}}+\hat{{j}}+2 \hat{{k}}$
अब, $\vec{a_2} - \vec{a_1}$ = $(2 \hat{{i}}-\hat{{j}}-\hat{{k}})-(\hat{{i}}+2 \hat{{j}}+\hat{{k}})=\hat{{i}}-3 \hat{{j}}-2 \hat{{k}} $
तथा $\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{\mathbf{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{array}\right|$ = $\hat{i}$ (-2 - 1) - $\hat{j}$ (2 - 2) + $\hat{k}$ (1 + 2) = -3$\hat{i}$ + 3$\hat{k}$
$\Rightarrow \left|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right|=\sqrt{(-3)^{2}+(3)^{2}}$$=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}$
न्यूनतम दूरी = $\left|\frac{\left(\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right) \cdot\left(\vec{a}_{2}-\vec{a}_{1}\right)}{\left|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right|}\right|=\frac{|(-3) \times 1+0 \times(-3)+3 \times(-2)|}{3 \sqrt{2}}$
$=\frac{|(-3 \hat{{i}}+3 \hat{{k}}) \cdot(\hat{{i}}-3 \hat{{j}}-2 \hat{{k}})|}{3 \sqrt{2}}=\frac{9}{\sqrt{2}}$ $=\frac{3 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ इकाई
अतः दी गई दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$
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